複素数 $w$ が中心 $-1$、半径 $1$ の円周上を動くとき、$z = \frac{w+1}{w-1}$ がどのような図形を描くか求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $w$ が中心 $-1$、半径 $1$ の円周上を動くとき、$z = \frac{w+1}{w-1}$ がどのような図形を描くか求める問題です。

2. 解き方の手順

$w$ は中心 $-1$、半径 $1$ の円周上を動くので、ある実数 $\theta$ を用いて

$w = -1 + e^{i\theta}$

と表すことができます。

これを $z$ の式に代入します。

$z = \frac{w+1}{w-1} = \frac{-1 + e^{i\theta} + 1}{-1 + e^{i\theta} - 1} = \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta} - 2}$

ここで、$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ であるから、

$z = \frac{\cos\theta + i\sin\theta}{\cos\theta + i\sin\theta - 2}$

$z$ の分母と分子に $\cos\theta - 2 - i\sin\theta$ を掛けます。

$z = \frac{(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta - 2 - i\sin\theta)}{(\cos\theta - 2 + i\sin\theta)(\cos\theta - 2 - i\sin\theta)}$

$z = \frac{\cos^2\theta - 2\cos\theta - i\cos\theta\sin\theta + i\sin\theta\cos\theta - 2i\sin\theta + \sin^2\theta}{(\cos\theta - 2)^2 + \sin^2\theta}$

$z = \frac{1 - 2\cos\theta - 2i\sin\theta}{\cos^2\theta - 4\cos\theta + 4 + \sin^2\theta}$

$z = \frac{1 - 2\cos\theta - 2i\sin\theta}{5 - 4\cos\theta}$

$z = x + iy$ とすると、

$x = \frac{1 - 2\cos\theta}{5 - 4\cos\theta}$

$y = \frac{-2\sin\theta}{5 - 4\cos\theta}$

$x - \frac{1}{2} = \frac{2 - 4\cos\theta}{2(5 - 4\cos\theta)}$

$x - \frac{1}{2} = \frac{1 - 2\cos\theta}{5 - 4\cos\theta}$

$(x - \frac{1}{2})^2 = \frac{(1 - 2\cos\theta)^2}{(5 - 4\cos\theta)^2}$

$y^2 = \frac{4\sin^2\theta}{(5 - 4\cos\theta)^2}$

$(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{1 - 4\cos\theta + 4\cos^2\theta + 4\sin^2\theta}{(5 - 4\cos\theta)^2}$

$(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{5 - 4\cos\theta}{(5 - 4\cos\theta)^2}$

$(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{1}{5 - 4\cos\theta} (5 - 4\cos\theta)$

$x = \frac{1 - 2\cos\theta}{5 - 4\cos\theta}$ なので、$5x - 4x\cos\theta = 1 - 2\cos\theta$, $(2 - 4x)\cos\theta = 1 - 5x$, $\cos\theta = \frac{1 - 5x}{2 - 4x}$

$y = \frac{-2\sin\theta}{5 - 4\cos\theta}$ なので、$\sin\theta = \frac{-y(5 - 4\cos\theta)}{2}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より

$(\frac{1 - 5x}{2 - 4x})^2 + (\frac{-y(5 - 4\cos\theta)}{2})^2 = 1$

$\cos\theta = \frac{1 - 5x}{2 - 4x}$　なので

$(\frac{1 - 5x}{2 - 4x})^2 + (\frac{-y(5 - 4\frac{1 - 5x}{2 - 4x})}{2})^2 = 1$

$(\frac{1 - 5x}{2 - 4x})^2 + (\frac{-y(\frac{5(2 - 4x) - 4(1 - 5x)}{2 - 4x})}{2})^2 = 1$

$(\frac{1 - 5x}{2 - 4x})^2 + (\frac{-y(\frac{10 - 20x - 4 + 20x}{2 - 4x})}{2})^2 = 1$

$(\frac{1 - 5x}{2 - 4x})^2 + (\frac{-y(\frac{6}{2 - 4x})}{2})^2 = 1$

$(\frac{1 - 5x}{2 - 4x})^2 + (\frac{-3y}{2 - 4x})^2 = 1$

$(1 - 5x)^2 + 9y^2 = (2 - 4x)^2$

$1 - 10x + 25x^2 + 9y^2 = 4 - 16x + 16x^2$

$9x^2 + 6x + 9y^2 = 3$

$x^2 + \frac{2}{3}x + y^2 = \frac{1}{3}$

$(x + \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9} + y^2 = \frac{1}{3}$

$(x + \frac{1}{3})^2 + y^2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{9}$

$(x + \frac{1}{3})^2 + y^2 = \frac{4}{9}$

これは、中心 $(-\frac{1}{3}, 0)$、半径 $\frac{2}{3}$ の円を表します。

3. 最終的な答え

中心 $(-\frac{1}{3}, 0)$、半径 $\frac{2}{3}$ の円