ばね定数 $k$ のばねに質量 $m$ のおもりが取り付けられている。時刻 $t=0$ でばねを自然長から $x_0$ だけ伸ばして静かに放す。おもりは速度に比例する空気抵抗力（比例定数 $C$）を受けるとする。 (i) $0 < C < C_0$ のとき、運動は減衰振動となる。$C_0$ を求め、 $C_0 = \sqrt{Amk}$ の $A$ にあてはまる自然数を求める。 (ii) 空気抵抗力の比例定数 $C$ が $C = \sqrt{2mk}$ で与えられるとき、おもりの振動の周期 $T$ を求め、$T = \pi \sqrt{\frac{Bm}{k}}$ の $B$ にあてはまる自然数を求める。 (iii) $x(t)$ を求め、$x(t) = \sqrt{D}x_0 e^{-\sqrt{\frac{k}{Em}}t} \sin(\sqrt{\frac{k}{Fm}}t + \frac{\pi}{G})$ の $D$ ~ $G$ にあてはまる自然数を求める。

1. 問題の内容

ばね定数 $k$ のばねに質量 $m$ のおもりが取り付けられている。時刻 $t=0$ でばねを自然長から $x_0$ だけ伸ばして静かに放す。おもりは速度に比例する空気抵抗力（比例定数 $C$）を受けるとする。

(i) $0 < C < C_0$ のとき、運動は減衰振動となる。$C_0$ を求め、 $C_0 = \sqrt{Amk}$ の $A$ にあてはまる自然数を求める。

(ii) 空気抵抗力の比例定数 $C$ が $C = \sqrt{2mk}$ で与えられるとき、おもりの振動の周期 $T$ を求め、$T = \pi \sqrt{\frac{Bm}{k}}$ の $B$ にあてはまる自然数を求める。

(iii) $x(t)$ を求め、$x(t) = \sqrt{D}x_0 e^{-\sqrt{\frac{k}{Em}}t} \sin(\sqrt{\frac{k}{Fm}}t + \frac{\pi}{G})$ の $D$ ~ $G$ にあてはまる自然数を求める。

2. 解き方の手順

(i) 減衰振動の場合、$C < C_0$ であり、$C_0$ は臨界減衰のときの $C$ の値である。運動方程式は $m\ddot{x} + C\dot{x} + kx = 0$ となる。臨界減衰の場合、$C^2 = 4mk$ が成り立つので、$C_0 = \sqrt{4mk}$ となる。したがって、$A = 4$。

(ii) $C = \sqrt{2mk}$ のとき、運動方程式は $m\ddot{x} + \sqrt{2mk}\dot{x} + kx = 0$ となる。特性方程式は $mr^2 + \sqrt{2mk}r + k = 0$ であり、$r = \frac{-\sqrt{2mk} \pm \sqrt{2mk - 4mk}}{2m} = \frac{-\sqrt{2mk} \pm \sqrt{-2mk}}{2m} = -\sqrt{\frac{k}{2m}} \pm i\sqrt{\frac{k}{2m}}$ となる。

したがって、$\omega = \sqrt{\frac{k}{2m}}$ であり、周期 $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}} = \pi \sqrt{\frac{8m}{k}}$ となる。したがって、$B = 8$。

(iii) $x(t) = e^{-\alpha t} (C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t))$ となる。ここで、$\alpha = \frac{C}{2m} = \frac{\sqrt{2mk}}{2m} = \sqrt{\frac{k}{2m}}$ であり、$\omega = \sqrt{\frac{k}{2m}}$ である。

初期条件は $x(0) = x_0$ および $\dot{x}(0) = 0$ である。$x(0) = C_1 = x_0$ である。

$\dot{x}(t) = -\alpha e^{-\alpha t}(C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t)) + e^{-\alpha t}(-C_1 \omega \sin(\omega t) + C_2 \omega \cos(\omega t))$ となる。

$\dot{x}(0) = -\alpha C_1 + C_2 \omega = 0$ より、$C_2 = \frac{\alpha C_1}{\omega} = x_0$ となる。

$x(t) = x_0 e^{-\sqrt{\frac{k}{2m}}t} (\cos(\sqrt{\frac{k}{2m}}t) + \sin(\sqrt{\frac{k}{2m}}t))$

$= \sqrt{2}x_0 e^{-\sqrt{\frac{k}{2m}}t} \sin(\sqrt{\frac{k}{2m}}t + \frac{\pi}{4})$ となる。

したがって、$D = 2$、$E = 2$、$F = 2$、$G = 4$。

3. 最終的な答え

(i) $A = 4$

(ii) $B = 8$

(iii) $D = 2$, $E = 2$, $F = 2$, $G = 4$