質量 $m$ の物体が、ばね定数 $k$ のばねと粘性減衰係数 $c$ のダンパーを介して固定壁に結合されている。物体に力を加えて放すと、物体の変位 $x$ が時間 $t$ に対して図2のように変化する。この現象に関する記述の空欄A, B, C, Dに当てはまる適切な選択肢を選ぶ問題。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体が、ばね定数 $k$ のばねと粘性減衰係数 $c$ のダンパーを介して固定壁に結合されている。物体に力を加えて放すと、物体の変位 $x$ が時間 $t$ に対して図2のように変化する。この現象に関する記述の空欄A, B, C, Dに当てはまる適切な選択肢を選ぶ問題。

2. 解き方の手順

* **空欄A:** 図2のグラフは振幅が時間とともに小さくなっているので、これは減衰振動である。したがって、Aには「減衰振動」が入る。選択肢②。

* **空欄B:** 減衰振動が発生するためには、減衰係数 $c$ がある程度小さい必要がある。臨界減衰条件は $c = 2\sqrt{mk}$ であり、減衰振動では $0 < c < 2\sqrt{mk}$ となる。したがって、Bには「$0 < c < 2\sqrt{mk}$」が入る。選択肢③。

* **空欄C:** ダンパーがない場合の固有角振動数 $ω_0$ は、$\omega_0 = \sqrt{k/m}$で与えられる。したがって、Cには「$\sqrt{k/m}$」が入る。選択肢⑥。

* **空欄D:** ダンパーがある場合の減衰振動の固有角振動数 $ω$ は、$\omega = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{c^2}{4m^2}}$ となる。ダンパーがない場合は $\sqrt{k/m}$ なので、ダンパーがある場合は固有角振動数は小さくなる。したがって、Dには「小さくなる」が入る。選択肢⑪。

3. 最終的な答え

A: ②

B: ③

C: ⑥

D: ⑪