質量 $m_0$ の質点を、時刻 $t=0$ に原点 $O$ から水平面と角度 $\theta$ をなす方向に初速度 $v_0$ で打ち上げる。重力加速度は $g$ とする。 (1) 空気抵抗がない場合、質点が最高点に到達するまでの時間 $t_1$ を求め、与えられた形式で表す。 (2) 空気抵抗がない場合、最高点の高さ $H_1$ を求め、与えられた形式で表す。 (3) 空気抵抗がない場合、原点 $O$ から最高点までの水平距離 $D_1$ を求め、与えられた形式で表す。 (4) 速さに比例する空気抵抗力 (比例定数 $k$) を受ける場合、原点 $O$ から最高点までの水平距離 $D_2$ を求め、与えられた形式で表す。 (5) $D_1$ と $D_2$ の大小関係を選ぶ。

1. 問題の内容

質量 $m_0$ の質点を、時刻 $t=0$ に原点 $O$ から水平面と角度 $\theta$ をなす方向に初速度 $v_0$ で打ち上げる。重力加速度は $g$ とする。

(1) 空気抵抗がない場合、質点が最高点に到達するまでの時間 $t_1$ を求め、与えられた形式で表す。

(2) 空気抵抗がない場合、最高点の高さ $H_1$ を求め、与えられた形式で表す。

(3) 空気抵抗がない場合、原点 $O$ から最高点までの水平距離 $D_1$ を求め、与えられた形式で表す。

(4) 速さに比例する空気抵抗力 (比例定数 $k$) を受ける場合、原点 $O$ から最高点までの水平距離 $D_2$ を求め、与えられた形式で表す。

(5) $D_1$ と $D_2$ の大小関係を選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 質点が最高点に到達するまでの時間 $t_1$

鉛直方向の初速度成分は $v_{0y} = v_0 \sin \theta$ である。最高点では鉛直方向の速度が0になるので、等加速度運動の公式 $v = v_0 + at$ より、

$0 = v_0 \sin \theta - gt_1$

$t_1 = \frac{v_0 \sin \theta}{g}$

与えられた形式と比較すると、

$t_1 = \{1(v_0 \sin \theta) + 0(v_0 \cos \theta)\}g^{-1}$

したがって、$A_1 = 1$, $A_2 = 0$, $A_3 = -1$

(2) 最高点の高さ $H_1$

等加速度運動の公式 $v^2 - v_0^2 = 2ax$ より、

$0^2 - (v_0 \sin \theta)^2 = -2gH_1$

$H_1 = \frac{(v_0 \sin \theta)^2}{2g}$

$H_1 = \frac{1}{2} (v_0 \sin \theta)^2 g^{-1}$

与えられた形式と比較すると、

$H_1 = \{1 (v_0 \sin \theta)^2 + 0 (v_0 \cos \theta)\} (1g)^{-1} = \{1(v_0 \sin \theta)+0(v_0 cos \theta)\}^{2} (\frac{1}{2}g)^{-1}$

ただし、この表現は、問題文にある形式と少し異なります。元の形式に近いように、

$H_1 = \{1(v_0 \sin \theta) + 0(v_0 \cos \theta)\}^{2} ((\frac{1}{2})^{\frac{1}{1}}g)^{-1} = \{\frac{1}{\sqrt{2}}(v_0 \sin \theta) + 0(v_0 \cos \theta)\}^{2} (1g)^{-1}$

$H_1 = \{1(v_0 \sin \theta)\}^2 \frac{1}{2g}$

よって、与えられた形式と比較して、

$A_4 = 0, A_5 = 2, A_6 = 1, A_7 = -1/2$, ただし$A_7$は整数ではないため、近似する。

(3) 原点 $O$ から最高点までの水平距離 $D_1$

水平方向の速度成分は $v_{0x} = v_0 \cos \theta$ であり、これは一定である。

$D_1 = v_{0x} t_1 = v_0 \cos \theta \cdot \frac{v_0 \sin \theta}{g} = \frac{v_0^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{2g}$

与えられた形式と比較すると、

$D_1 = \{v_0^2 \sin 2\theta\} (\frac{1}{2} g^{-1})$

$D_1 = \{v_0^2 \sin 2\theta\} (\frac{1}{2} g^{-1})$

$A_8 = 2, A_9 = \frac{1}{2}, A_{10} = -1$

(4) 空気抵抗がある場合の水平距離 $D_2$

与えられた式より、$D_2 = \frac{D_1}{1 + k v_0^{B_1} m_0^{B_2} g^{B_3} (B_4 \sin \theta + B_5 \cos \theta)}$。 問題文に与えられた式を使用することしかできません。

(5) $D_1$ と $D_2$ の大小関係

$D_2$ の式の分母は $1 + (\text{正の項})$ なので、分母は1より大きくなる。したがって、$D_2 < D_1$

3. 最終的な答え

(1) $t_1 = \{1(v_0 \sin \theta) + 0(v_0 \cos \theta)\}g^{-1}$

$A_1 = 1$, $A_2 = 0$, $A_3 = -1$

(2) $H_1 = \{1(v_0 \sin \theta)+0(v_0 cos \theta)\}^{2} (\frac{1}{2}g)^{-1}$

$A_4 = 0, A_5 = 2, A_6 = \frac{1}{2}, A_7 = -1$

(3) $D_1 = \{v_0^2 \sin 2\theta\} (\frac{1}{2}g^{-1})$

$A_8 = 2, A_9 = \frac{1}{2}, A_{10} = -1$

(4) $D_2 = \frac{D_1}{1 + k v_0^{B_1} m_0^{B_2} g^{B_3} (B_4 \sin \theta + B_5 \cos \theta)}$

(5) ① $D_1 > D_2$