方程式 $|x^2 - 2| = x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

方程式 $|x^2 - 2| = x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x^2 - 2 \geq 0$ のとき、$|x^2 - 2| = x^2 - 2$ なので、

$x^2 - 2 = x$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

$x = 2, -1$

ここで、$x^2 - 2 \geq 0$ という条件があるので、$x^2 \geq 2$ つまり、$x \geq \sqrt{2}$ または $x \leq -\sqrt{2}$ である必要があります。

$x = 2$ は $x \geq \sqrt{2}$ を満たします。

$x = -1$ は $x \leq -\sqrt{2}$ を満たしません。

したがって、$x = 2$ が解の候補です。

(ii) $x^2 - 2 < 0$ のとき、$|x^2 - 2| = -(x^2 - 2) = 2 - x^2$ なので、

$2 - x^2 = x$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

$x = -2, 1$

ここで、$x^2 - 2 < 0$ という条件があるので、$x^2 < 2$ つまり、$-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ である必要があります。

$x = -2$ は $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ を満たしません。

$x = 1$ は $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ を満たします。

したがって、$x = 1$ が解の候補です。

また、$|x^2-2|=x$であるため、$x \geq 0$を満たす必要があります。

(i)より$x=2$は$x \geq 0$を満たします。

(ii)より$x=1$は$x \geq 0$を満たします。

$x=2$のとき、$|2^2-2|=|4-2|=2=x$より、$x=2$は解です。

$x=1$のとき、$|1^2-2|=|1-2|=1=x$より、$x=1$は解です。

3. 最終的な答え

$x = 1, 2$