$\frac{x+y}{2} = \frac{y+z}{5} = \frac{z+x}{7}$ のとき、$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{x+y}{2} = \frac{y+z}{5} = \frac{z+x}{7}$ のとき、$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた条件より、

$$\frac{x+y}{2} = \frac{y+z}{5} = \frac{z+x}{7} = k$$

とおく。すると、

$$x+y=2k$$

$$y+z=5k$$

$$z+x=7k$$

これら3つの式を全て足し合わせると

$$2(x+y+z) = 14k$$

$$x+y+z = 7k$$

この式と、上の3つの式を使うと、

$$z = (x+y+z) - (x+y) = 7k - 2k = 5k$$

$$x = (x+y+z) - (y+z) = 7k - 5k = 2k$$

$$y = (x+y+z) - (z+x) = 7k - 7k = 0$$

したがって、$x = 2k$, $y = 0$, $z = 5k$ となる。

これらを $\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ に代入すると、

$$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} = \frac{2k \cdot 0 + 0 \cdot 5k + 5k \cdot 2k}{(2k)^2 + 0^2 + (5k)^2} = \frac{10k^2}{4k^2 + 25k^2} = \frac{10k^2}{29k^2} = \frac{10}{29}$$

3. 最終的な答え

$\frac{10}{29}$