図において、$\angle x$ と $\angle y$ の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

図において、$\angle x$ と $\angle y$ の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCに着目します。三角形の内角の和は180度であるため、$\angle BAC$を求めます。

$\angle BAC = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 42^{\circ} = 108^{\circ}$

次に、$\angle y$を求めます。

$\angle y = \angle BAC - 57^{\circ} = 108^{\circ} - 57^{\circ} = 51^{\circ}$

三角形ACDに着目します。$\angle CAD = 57^{\circ}$, $\angle ACD = 42^{\circ}$より、$\angle ADC$が求まります。

$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle CAD - \angle ACD = 180^{\circ} - 57^{\circ} - 42^{\circ} = 81^{\circ}$

$\angle x = \angle ADC - 57^{\circ} = 81^{\circ} - 57^{\circ} = 24^{\circ}$

3. 最終的な答え

$\angle x = 24^{\circ}$

$\angle y = 51^{\circ}$