ベクトル $\vec{a} = (-1, 3)$, $\vec{b} = (1, -1)$ が与えられている。$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{b}$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $|\vec{p}| = 2$ となるような $t$ の値を求める。 (2) $|\vec{p}|$ の最小値を求め、そのときの $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-1, 3)$, $\vec{b} = (1, -1)$ が与えられている。$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{b}$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $|\vec{p}| = 2$ となるような $t$ の値を求める。

(2) $|\vec{p}|$ の最小値を求め、そのときの $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{p}| = 2$ となるような $t$ の値を求める。

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{b} = (-1, 3) + t(1, -1) = (-1 + t, 3 - t)$

$|\vec{p}|^2 = (-1 + t)^2 + (3 - t)^2 = 1 - 2t + t^2 + 9 - 6t + t^2 = 2t^2 - 8t + 10$

$|\vec{p}| = 2$ なので $|\vec{p}|^2 = 4$。

$2t^2 - 8t + 10 = 4$

$2t^2 - 8t + 6 = 0$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

$(t - 1)(t - 3) = 0$

$t = 1, 3$

(2) $|\vec{p}|$ の最小値を求め、そのときの $t$ の値を求める。

$|\vec{p}|^2 = 2t^2 - 8t + 10 = 2(t^2 - 4t) + 10 = 2(t^2 - 4t + 4 - 4) + 10 = 2(t - 2)^2 - 8 + 10 = 2(t - 2)^2 + 2$

$|\vec{p}|^2$ は $t = 2$ のとき最小値 $2$ をとる。

よって、$|\vec{p}|$ は $t = 2$ のとき最小値 $\sqrt{2}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $t = 1, 3$

(2) 最小値: $\sqrt{2}$, そのときの $t$ の値: $2$