次の2次不等式を解きます。 $x^2 - (2a + 1)x + a(1 + a^2)(2 - a) > 0$

1. 問題の内容

次の2次不等式を解きます。

$x^2 - (2a + 1)x + a(1 + a^2)(2 - a) > 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次不等式の左辺を因数分解することを考えます。

$x^2 - (2a + 1)x + a(1 + a^2)(2 - a) > 0$

$x^2 - (2a + 1)x + a(2 - a + 2a^2 - a^3) > 0$

$x^2 - (2a + 1)x + (2a - a^2 + 2a^3 - a^4) > 0$

次に、2次方程式 $x^2 - (2a + 1)x + a(1 + a^2)(2 - a) = 0$ の解を求めます。

解の公式や因数分解を試みます。因数分解できると仮定すると、

$(x - A)(x - B) = x^2 - (A + B)x + AB$

なので、$A + B = 2a + 1$ かつ $AB = a(1 + a^2)(2 - a)$となるような $A, B$ を探します。

$A = a, B = (1 + a^2)(2 - a)$とおくと、

$A + B = a + (1 + a^2)(2 - a) = a + 2 - a + 2a^2 - a^3 = 2 + 2a^2 - a^3$

これでは$2a+1$にならないので、$A,B$の値を調整する必要がある。

$A = 2a - a^2$ , $B = 1 + a^2$ とおくと

$A + B = 2a - a^2 + 1 + a^2 = 2a + 1$

$AB = (2a - a^2)(1 + a^2) = 2a + 2a^3 - a^2 - a^4 = a(2 - a + 2a^2 - a^3) = a(1 + a^2)(2 - a)$

したがって、2次不等式は以下のように因数分解できます。

$(x - (2a - a^2))(x - (1 + a^2)) > 0$

$(x - (2a - a^2))(x - (1 + a^2)) > 0$

この不等式を解くには、$2a - a^2$ と $1 + a^2$ の大小関係を考慮する必要があります。

$1 + a^2 > 2a - a^2$ を確認します。

$1 + a^2 - (2a - a^2) = 1 + a^2 - 2a + a^2 = 2a^2 - 2a + 1 = 2(a^2 - a) + 1 = 2(a - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = 2(a - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} > 0$

したがって、$1 + a^2 > 2a - a^2$ が常に成り立ちます。

よって、不等式の解は、$x < 2a - a^2$ または $x > 1 + a^2$ となります。

3. 最終的な答え

$x < 2a - a^2$ または $x > 1 + a^2$