不等式 $-2(\log_2 x)^2 + 9\log_8 2x < 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $-2(\log_2 x)^2 + 9\log_8 2x < 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を使って、全ての対数を底2に変換します。

$\log_8 2x = \frac{\log_2 2x}{\log_2 8} = \frac{\log_2 2x}{3}$

与えられた不等式は、

$-2(\log_2 x)^2 + 9\frac{\log_2 2x}{3} < 1$

となります。

$\log_2 2x$ を $\log_2 2 + \log_2 x$ に分解すると、

$-2(\log_2 x)^2 + 3(\log_2 2 + \log_2 x) < 1$

$-2(\log_2 x)^2 + 3(1 + \log_2 x) < 1$

$-2(\log_2 x)^2 + 3 + 3\log_2 x < 1$

$-2(\log_2 x)^2 + 3\log_2 x + 2 < 0$

$2(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x - 2 > 0$

ここで、$t = \log_2 x$ とおくと、

$2t^2 - 3t - 2 > 0$

$(2t + 1)(t - 2) > 0$

したがって、$t < -\frac{1}{2}$ または $t > 2$ となります。

$t < -\frac{1}{2}$ のとき、

$\log_2 x < -\frac{1}{2}$

$x < 2^{-\frac{1}{2}}$

$x < \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

$t > 2$ のとき、

$\log_2 x > 2$

$x > 2^2$

$x > 4$

真数条件より、$x>0$ である必要があるので、

$0 < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ または $x > 4$

3. 最終的な答え

$0 < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ または $x > 4$