$m$ を定数とする。2次方程式 $x^2 + 2(m+2)x + 2m + 12 = 0$ (これを式①とする) について、以下の問いに答える。 (1) 式①が異なる2つの正の解を持つときの、$m$ の値の範囲を求める。 (2) 式①が2より大きい解と2より小さい解を1つずつ持つときの、$m$ の値の範囲を求める。 (3) 式①が1と2の間、2と3の間にそれぞれ解を1つずつ持つときの、$m$ の値の範囲を求める。

はい、承知しました。与えられた問題について、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

$m$ を定数とする。2次方程式 $x^2 + 2(m+2)x + 2m + 12 = 0$ (これを式①とする) について、以下の問いに答える。

(1) 式①が異なる2つの正の解を持つときの、$m$ の値の範囲を求める。

(2) 式①が2より大きい解と2より小さい解を1つずつ持つときの、$m$ の値の範囲を求める。

(3) 式①が1と2の間、2と3の間にそれぞれ解を1つずつ持つときの、$m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの正の解を持つ条件

式①の判別式を $D$ とすると、$D > 0$、軸 $x = - (m+2) > 0$、かつ $f(0) > 0$ が必要十分条件となる。

- $D/4 = (m+2)^2 - (2m+12) = m^2 + 4m + 4 - 2m - 12 = m^2 + 2m - 8 = (m+4)(m-2) > 0$ より、$m < -4$ または $m > 2$。

- 軸 $x = -(m+2) > 0$ より、$m < -2$。

- $f(0) = 2m + 12 > 0$ より、$m > -6$。

これら3つの条件を満たす $m$ の範囲は、$-6 < m < -4$ または $2 < m < -2$ で、$-6 < m < -4$ となる。

したがって、$-6 < m < -4$ および $m>2$。 条件を全て満たすのは $-6 < m < -4$ または $2 < m < -2$であるが、後者は条件を満たさない。ゆえに $-6 < m < -4$。

(2) 2より大きい解と2より小さい解を1つずつ持つ条件

$f(2) < 0$ が必要十分条件となる。

$f(2) = 2^2 + 2(m+2)(2) + 2m + 12 = 4 + 4m + 8 + 2m + 12 = 6m + 24 < 0$ より、$m < -4$。

(3) 1と2の間、2と3の間にそれぞれ解を1つずつ持つ条件

$f(1) > 0$ かつ $f(2) < 0$ かつ $f(3) > 0$ が必要十分条件となる。

- $f(1) = 1 + 2(m+2) + 2m + 12 = 1 + 2m + 4 + 2m + 12 = 4m + 17 > 0$ より、$m > -\frac{17}{4} = -4.25$。

- $f(2) = 6m + 24 < 0$ より、$m < -4$。

- $f(3) = 9 + 6(m+2) + 2m + 12 = 9 + 6m + 12 + 2m + 12 = 8m + 33 > 0$ より、$m > -\frac{33}{8} = -4.125$。

これら3つの条件を満たす $m$ の範囲は、$-\frac{33}{8} < m < -4$。

3. 最終的な答え

(1) $-6 < m < -4$

(2) $m < -4$

(3) $-\frac{33}{8} < m < -4$

$\frac{-33}{8} < m < -4$