以下の式を計算します。 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7}}$

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(3)の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の式を計算します。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})}{(\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7})(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})^2}{(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2}$

$(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 = 2 + 2\sqrt{10} + 5 = 7 + 2\sqrt{10}$

$(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2 = 7 + 2\sqrt{10} - 7 = 2\sqrt{10}$

$(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{2} + \sqrt{5})\sqrt{7} + 7 = 7 + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{14} + 2\sqrt{35} + 7 = 14 + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{14} + 2\sqrt{35}$

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})^2}{(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{14 + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{14} + 2\sqrt{35}}{2\sqrt{10}} = \frac{7 + \sqrt{10} + \sqrt{14} + \sqrt{35}}{\sqrt{10}}$

同様に、もう一つの分数を計算します。

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})}{(\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7})(\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})} = \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})^2}{(\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2}$

$(\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 = 2 - 2\sqrt{10} + 5 = 7 - 2\sqrt{10}$

$(\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2 = 7 - 2\sqrt{10} - 7 = -2\sqrt{10}$

$(\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})^2 = (\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{2} - \sqrt{5})\sqrt{7} + 7 = 7 - 2\sqrt{10} + 2\sqrt{14} - 2\sqrt{35} + 7 = 14 - 2\sqrt{10} + 2\sqrt{14} - 2\sqrt{35}$

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})^2}{(\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{14 - 2\sqrt{10} + 2\sqrt{14} - 2\sqrt{35}}{-2\sqrt{10}} = \frac{-7 + \sqrt{10} - \sqrt{14} + \sqrt{35}}{\sqrt{10}}$

したがって、

$\frac{7 + \sqrt{10} + \sqrt{14} + \sqrt{35}}{\sqrt{10}} + \frac{-7 + \sqrt{10} - \sqrt{14} + \sqrt{35}}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10} + 2\sqrt{35}}{\sqrt{10}} = 2 + 2\sqrt{\frac{35}{10}} = 2 + 2\sqrt{\frac{7}{2}} = 2 + 2\frac{\sqrt{14}}{2} = 2 + \sqrt{14}$

3. 最終的な答え

$2 + \sqrt{14}$