半径4の円Oの内側を、半径1の円Cが滑らずに転がる。円Cの中心Cは原点Oのまわりを反時計回りに移動する。初めに、点Cは(3,0)にあり、円O上の点A(4,0)に重なっている円C上の点をPとする。 (1) 円Cが回転して$\angle COA = \theta (0 < \theta < \frac{\pi}{4})$となったとき、円Oと円Cの接点をBとして$\angle BCP$の大きさを求めなさい。 (2) (1)のとき、点Pの座標$x, y$を$\theta$を用いて表しなさい。

1. 問題の内容

半径4の円Oの内側を、半径1の円Cが滑らずに転がる。円Cの中心Cは原点Oのまわりを反時計回りに移動する。初めに、点Cは(3,0)にあり、円O上の点A(4,0)に重なっている円C上の点をPとする。

(1) 円Cが回転して$\angle COA = \theta (0 < \theta < \frac{\pi}{4})$となったとき、円Oと円Cの接点をBとして$\angle BCP$の大きさを求めなさい。

(2) (1)のとき、点Pの座標$x, y$を$\theta$を用いて表しなさい。

2. 解き方の手順

(1)

円Cが円Oに内接しながら転がるので、円O上の弧ABの長さと円C上の弧PBの長さは等しい。

円O上の弧ABの長さは $4\theta$ である。

円C上の弧PBの長さを求める。$\angle BCP = \alpha$ とすると、円C上の弧PBの長さは $1 \cdot \alpha = \alpha$ である。

よって、 $4\theta = \alpha$ が成り立つ。

したがって、$\angle BCP = 4\theta$

(2)

点Cの座標は $(3\cos\theta, 3\sin\theta)$ である。

$\angle BCA = \pi - \theta$ であり、$\angle BCP = 4\theta$ であるから、

$\angle PCA = \angle BCA - \angle BCP = \pi - \theta - 4\theta = \pi - 5\theta$

点Pは、点Cを中心とする半径1の円周上にあり、$\angle PCA = \pi - 5\theta$ であるから、

点Pの座標は、

$x = 3\cos\theta + \cos(\theta + \pi - 5\theta) = 3\cos\theta + \cos(\pi - 4\theta) = 3\cos\theta - \cos(4\theta)$

$y = 3\sin\theta + \sin(\theta + \pi - 5\theta) = 3\sin\theta + \sin(\pi - 4\theta) = 3\sin\theta + \sin(4\theta)$

3. 最終的な答え

(1) $\angle BCP = 4\theta$

(2) $x = 3\cos\theta - \cos(4\theta)$

$y = 3\sin\theta + \sin(4\theta)$