$\theta$ は鋭角とする。$\cos \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ は鋭角とする。$\cos \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という三角関数の恒等式を利用して、$\sin \theta$ の値を求めます。

$\cos \theta = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta + (\frac{2}{3})^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{4}{9} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\theta$ は鋭角なので、$\sin \theta > 0$ です。したがって、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ という関係式を利用して、$\tan \theta$ の値を求めます。

$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$