三角形ABCにおいて、$AB=4$, $AC=3$, $\angle A = 60^{\circ}$である。$\angle A$の二等分線と辺BCの交点をDとするとき、$AD$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=4$, $AC=3$, $\angle A = 60^{\circ}$である。$\angle A$の二等分線と辺BCの交点をDとするとき、$AD$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$の面積を求める。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

次に、$\triangle ABD$と$\triangle ACD$の面積の和が$\triangle ABC$の面積に等しいことを利用する。$AD=x$とする。

$\triangle ABD = \frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \times 4 \times x \times \frac{1}{2} = x$

$\triangle ACD = \frac{1}{2} \times AC \times AD \times \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \times 3 \times x \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}x$

$\triangle ABD + \triangle ACD = x + \frac{3}{4}x = \frac{7}{4}x$

したがって、

$\frac{7}{4}x = 3\sqrt{3}$

$x = \frac{12\sqrt{3}}{7}$

次に、角の二等分線の性質より、$BD:CD = AB:AC = 4:3$

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos A} = \sqrt{4^2 + 3^2 - 2 \times 4 \times 3 \times \cos 60^{\circ}} = \sqrt{16 + 9 - 24 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{25-12} = \sqrt{13}$

$BD = \frac{4}{4+3} \times BC = \frac{4}{7} \sqrt{13}$

$CD = \frac{3}{4+3} \times BC = \frac{3}{7} \sqrt{13}$

$\triangle ABD$において余弦定理より、

$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \times AD \times BD \times \cos 30^\circ$

$16 = x^2 + \frac{16}{49} \times 13 - 2 \times x \times \frac{4}{7} \sqrt{13} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$16 = x^2 + \frac{208}{49} - \frac{4\sqrt{39}}{7} x$

$x^2 - \frac{4\sqrt{39}}{7} x - \frac{576}{49} = 0$

$\triangle ACD$において余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \times AD \times CD \times \cos 30^\circ$

$9 = x^2 + \frac{9}{49} \times 13 - 2 \times x \times \frac{3}{7} \sqrt{13} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$9 = x^2 + \frac{117}{49} - \frac{3\sqrt{39}}{7} x$

$x^2 - \frac{3\sqrt{39}}{7} x - \frac{324}{49} = 0$

別の解き方。$AB=c$, $AC=b$, $AD=x$として、$\angle BAD = \angle CAD = \theta$とする。

面積の関係から、

$\frac{1}{2}cx\sin\theta + \frac{1}{2}bx\sin\theta = \frac{1}{2}bc\sin2\theta$

$(c+b)x\sin\theta = bc(2\sin\theta\cos\theta)$

$x = \frac{2bc\cos\theta}{b+c}$

$\theta = \frac{A}{2} = 30^{\circ}$なので、$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{2 \times 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{3+4} = \frac{12\sqrt{3}}{7}$

3. 最終的な答え

$AD = \frac{12\sqrt{3}}{7}$