連立一次方程式 $ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ x - 3y = -5 \end{cases} $ を、組合せ乗積を利用して解く。

1. 問題の内容

連立一次方程式

$$

\begin{cases}

2x + y = 4 \\

x - 3y = -5

\end{cases}

$$

を、組合せ乗積を利用して解く。

2. 解き方の手順

まず、連立一次方程式を行列の形で表現します。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 \\

1 & -3

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\

y

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

4 \\

-5

\end{pmatrix}

$$

次に、行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 \\

1 & -3

\end{vmatrix}

= (2)(-3) - (1)(1) = -6 - 1 = -7

$$

次に、$x$ と $y$ を求めるために、クラメルの公式を使います。

$x$を求めるには、係数行列の$x$の列を右辺の定数項で置き換えた行列式を計算し、それを元の係数行列の行列式で割ります。

$$

x = \frac{\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -5 & -3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}} = \frac{(4)(-3) - (1)(-5)}{-7} = \frac{-12 + 5}{-7} = \frac{-7}{-7} = 1

$$

同様に、$y$を求めるには、係数行列の$y$の列を右辺の定数項で置き換えた行列式を計算し、それを元の係数行列の行列式で割ります。

$$

y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & -5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}} = \frac{(2)(-5) - (4)(1)}{-7} = \frac{-10 - 4}{-7} = \frac{-14}{-7} = 2

$$

3. 最終的な答え

$x = 1, y = 2$