ベクトル $\vec{a} = \vec{e_x} - 3\vec{e_y} + \vec{e_z}$ と $\vec{b} = 2\vec{e_x} + \vec{e_y} - 2\vec{e_z}$ が与えられています。 (1) $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算する。 (2) $\vec{b} \times (2\vec{a} + \vec{b})$ を計算する。 (3) $(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b})$ を計算する。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \vec{e_x} - 3\vec{e_y} + \vec{e_z}$ と $\vec{b} = 2\vec{e_x} + \vec{e_y} - 2\vec{e_z}$ が与えられています。

(1) $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算する。

(2) $\vec{b} \times (2\vec{a} + \vec{b})$ を計算する。

(3) $(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b})$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a} \times \vec{b}$ の計算：

$\vec{a} \times \vec{b}$ は行列式を用いて計算できます。

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\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}

\vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z} \\

1 & -3 & 1 \\

2 & 1 & -2

\end{vmatrix}

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= \vec{e_x}((-3) \times (-2) - 1 \times 1) - \vec{e_y}(1 \times (-2) - 1 \times 2) + \vec{e_z}(1 \times 1 - (-3) \times 2)

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= \vec{e_x}(6 - 1) - \vec{e_y}(-2 - 2) + \vec{e_z}(1 + 6)

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= 5\vec{e_x} + 4\vec{e_y} + 7\vec{e_z}

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(2) $\vec{b} \times (2\vec{a} + \vec{b})$ の計算：

まず、$2\vec{a}$ を計算します。

$2\vec{a} = 2(\vec{e_x} - 3\vec{e_y} + \vec{e_z}) = 2\vec{e_x} - 6\vec{e_y} + 2\vec{e_z}$

次に、$2\vec{a} + \vec{b}$ を計算します。

$2\vec{a} + \vec{b} = (2\vec{e_x} - 6\vec{e_y} + 2\vec{e_z}) + (2\vec{e_x} + \vec{e_y} - 2\vec{e_z}) = 4\vec{e_x} - 5\vec{e_y}$

$\vec{b} \times (2\vec{a} + \vec{b})$ を計算します。

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\vec{b} \times (2\vec{a} + \vec{b}) = \begin{vmatrix}

\vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z} \\

2 & 1 & -2 \\

4 & -5 & 0

\end{vmatrix}

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= \vec{e_x}(1 \times 0 - (-2) \times (-5)) - \vec{e_y}(2 \times 0 - (-2) \times 4) + \vec{e_z}(2 \times (-5) - 1 \times 4)

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= \vec{e_x}(0 - 10) - \vec{e_y}(0 + 8) + \vec{e_z}(-10 - 4)

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= -10\vec{e_x} - 8\vec{e_y} - 14\vec{e_z}

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また、ベクトル積の性質として$\vec{b} \times \vec{b}=0$であるため、$\vec{b} \times (2\vec{a} + \vec{b})=2\vec{b} \times \vec{a}$ となる。

(1)より$\vec{a} \times \vec{b} = 5\vec{e_x} + 4\vec{e_y} + 7\vec{e_z}$であるため、$\vec{b} \times \vec{a} = -(5\vec{e_x} + 4\vec{e_y} + 7\vec{e_z})=-5\vec{e_x} - 4\vec{e_y} - 7\vec{e_z}$となる。

したがって、$2\vec{b} \times \vec{a}=2(-5\vec{e_x} - 4\vec{e_y} - 7\vec{e_z})=-10\vec{e_x} - 8\vec{e_y} - 14\vec{e_z}$となる。

(3) $(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b})$ の計算：

ベクトル積の分配法則を使うと、

$(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b}$

$\vec{a} \times \vec{a} = 0$ および $\vec{b} \times \vec{b} = 0$ であり、$\vec{b} \times \vec{a} = - \vec{a} \times \vec{b}$ なので、

$(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = - \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{b} = -2 (\vec{a} \times \vec{b})$

(1)より$\vec{a} \times \vec{b} = 5\vec{e_x} + 4\vec{e_y} + 7\vec{e_z}$なので、

$-2(\vec{a} \times \vec{b}) = -2(5\vec{e_x} + 4\vec{e_y} + 7\vec{e_z}) = -10\vec{e_x} - 8\vec{e_y} - 14\vec{e_z}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \times \vec{b} = 5\vec{e_x} + 4\vec{e_y} + 7\vec{e_z}$

(2) $\vec{b} \times (2\vec{a} + \vec{b}) = -10\vec{e_x} - 8\vec{e_y} - 14\vec{e_z}$

(3) $(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = -10\vec{e_x} - 8\vec{e_y} - 14\vec{e_z}$