質点系の $k$ 番目の質点の位置を $\vec{r}_k$、運動量を $\vec{p}_k$、質点にはたらく力を $\vec{F}_k$ とする。質点系の角運動量 $\vec{L} = \sum_k (\vec{r}_k \times \vec{p}_k)$ を時間 $t$ で微分すると $\dot{\vec{L}} = \frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{N}$ となることを示す。ただし、$\vec{N} = \sum_k (\vec{r}_k \times \vec{F}_k)$ である。

1. 問題の内容

質点系の $k$ 番目の質点の位置を $\vec{r}_k$、運動量を $\vec{p}_k$、質点にはたらく力を $\vec{F}_k$ とする。質点系の角運動量 $\vec{L} = \sum_k (\vec{r}_k \times \vec{p}_k)$ を時間 $t$ で微分すると $\dot{\vec{L}} = \frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{N}$ となることを示す。ただし、$\vec{N} = \sum_k (\vec{r}_k \times \vec{F}_k)$ である。

2. 解き方の手順

角運動量 $\vec{L}$ を時間で微分すると、

$\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt} \sum_k (\vec{r}_k \times \vec{p}_k) = \sum_k \frac{d}{dt} (\vec{r}_k \times \vec{p}_k)$

積の微分則を用いると、

$\frac{d}{dt} (\vec{r}_k \times \vec{p}_k) = \frac{d\vec{r}_k}{dt} \times \vec{p}_k + \vec{r}_k \times \frac{d\vec{p}_k}{dt}$

ここで、$\vec{p}_k = m_k \vec{v}_k = m_k \frac{d\vec{r}_k}{dt}$ であるから、$\frac{d\vec{r}_k}{dt} = \frac{\vec{p}_k}{m_k}$。また、ニュートンの運動方程式より、$\frac{d\vec{p}_k}{dt} = \vec{F}_k$ である。

したがって、

$\frac{d}{dt} (\vec{r}_k \times \vec{p}_k) = \frac{\vec{p}_k}{m_k} \times \vec{p}_k + \vec{r}_k \times \vec{F}_k$

ここで、$\vec{p}_k \times \vec{p}_k = \vec{0}$ (同じベクトルの外積はゼロ) であるから、

$\frac{d}{dt} (\vec{r}_k \times \vec{p}_k) = \vec{r}_k \times \vec{F}_k$

これより、

$\frac{d\vec{L}}{dt} = \sum_k \frac{d}{dt} (\vec{r}_k \times \vec{p}_k) = \sum_k (\vec{r}_k \times \vec{F}_k) = \vec{N}$

よって、$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{N}$ が示された。

3. 最終的な答え

$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{N}$