$\left(x^2 - \frac{3}{x}\right)^5$ の展開式における $x$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$\left(x^2 - \frac{3}{x}\right)^5$ の展開式における $x$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式を考えます。

$\left(x^2 - \frac{3}{x}\right)^5$ の一般項は、

$${}_5 C_r (x^2)^{5-r} \left(-\frac{3}{x}\right)^r$$

と表されます。これを整理すると、

$${}_5 C_r x^{2(5-r)} (-3)^r x^{-r} = {}_5 C_r (-3)^r x^{10-2r-r} = {}_5 C_r (-3)^r x^{10-3r}$$

となります。$x$ の係数を求めたいので、$10-3r = 1$ となる $r$ を探します。

$10-3r = 1$ を解くと、

$3r = 9$

$r = 3$

となります。したがって、$r = 3$ のとき $x$ の係数が現れます。

$r = 3$ のときの項は、

$${}_5 C_3 (-3)^3 x^{10-3(3)} = {}_5 C_3 (-3)^3 x^1 = {}_5 C_3 (-27) x$$

となります。

${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ なので、

$$10 \times (-27) x = -270 x$$

したがって、$x$ の係数は $-270$ となります。

3. 最終的な答え

-270