多項式 $P(x)$ を $(x-1)(x+1)$ で割ると余りが $4x-3$ であり、$(x-2)(x+2)$ で割ると余りが $3x+5$ である。このとき、$P(x)$ を $(x+1)(x+2)$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $(x-1)(x+1)$ で割ると余りが $4x-3$ であり、$(x-2)(x+2)$ で割ると余りが $3x+5$ である。このとき、$P(x)$ を $(x+1)(x+2)$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-1)(x+1)(x+2)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax^2+bx+c$ とすると、

$$P(x) = (x-1)(x+1)(x+2)Q(x) + ax^2+bx+c$$

と表せる。

$P(x)$ を $(x-1)(x+1)$ で割った余りが $4x-3$ であるから、

$$P(x) = (x-1)(x+1)Q_1(x) + 4x-3$$

$P(x)$ を $(x-2)(x+2)$ で割った余りが $3x+5$ であるから、

$$P(x) = (x-2)(x+2)Q_2(x) + 3x+5$$

とおける。

$P(x)$ を $(x+1)(x+2)$ で割った余りを $rx+s$ とおくと、

$$P(x) = (x+1)(x+2)Q_3(x) + rx+s$$

となる。

$P(x)$ を $(x-1)(x+1)(x+2)Q(x) + ax^2+bx+c$ で $(x-1)(x+1)$ で割ると、

$ax^2+bx+c$ を $(x-1)(x+1)=x^2-1$ で割った余りが $4x-3$ になる。

$ax^2+bx+c = a(x^2-1) + ax+b+c$ より、余りは $ax+b+c+a = ax + (b+c+a)$ なので、

$a=4$ かつ $b+c+a = -3$

$b+c = -7$

$P(x)$ を $(x-1)(x+1)(x+2)Q(x) + ax^2+bx+c$ で $(x-2)(x+2)$ で割ると、

$ax^2+bx+c$ を $(x-2)(x+2)=x^2-4$ で割った余りが $3x+5$ になる。

$ax^2+bx+c = a(x^2-4) + bx+4a+c$ より、余りは $bx+(4a+c)$ なので、

$b=3$ かつ $4a+c=5$

$4(4)+c=5$

$16+c=5$

$c=-11$

$b+c = -7$

$3-11 = -8$ これは成り立たない。

改めて、求める余りを$ax+b$とする。

$P(-1) = -a+b$

$P(-2) = -2a+b$

$P(x) = (x-1)(x+1)Q_1(x) + 4x-3$ より、

$P(-1) = -4-3 = -7$

$P(x) = (x-2)(x+2)Q_2(x) + 3x+5$ より、

$P(-2) = -6+5 = -1$

$-a+b = -7$

$-2a+b = -1$

$-a+b-(-2a+b) = -7-(-1)$

$a=-6$

$-(-6)+b = -7$

$6+b=-7$

$b=-13$

したがって、余りは $-6x-13$

3. 最終的な答え

$-6x-13$