関数 $f(x)$ が条件 (A) $\int_0^x f(t) dt = \frac{x^2}{4} \int_0^a f(t) dt$ と条件 (B) $\int_0^1 f(t) dt = 1$ を満たすとき、$f(x)$ を求め、$A = \int_0^a f(t) dt$ の値を求め、$a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が条件 (A) $\int_0^x f(t) dt = \frac{x^2}{4} \int_0^a f(t) dt$ と条件 (B) $\int_0^1 f(t) dt = 1$ を満たすとき、$f(x)$ を求め、$A = \int_0^a f(t) dt$ の値を求め、$a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、条件(A)において、$\int_0^a f(t) dt = A$ とおくと、$\int_0^x f(t) dt = \frac{A}{4} x^2$ となります。この式の両辺を $x$ で微分すると、$f(x) = \frac{A}{4} \cdot 2x = \frac{A}{2}x$ となります。したがって、1に入るのは $2$ です。

次に、条件 (B) $\int_0^1 f(t) dt = 1$ を使って $A$ の値を求めます。

$f(x) = \frac{A}{2}x$ なので、

$\int_0^1 f(t) dt = \int_0^1 \frac{A}{2}t dt = \frac{A}{2} \int_0^1 t dt = \frac{A}{2} \left[ \frac{1}{2} t^2 \right]_0^1 = \frac{A}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{A}{4}$

$\frac{A}{4} = 1$ より $A = 4$ です。したがって、2に入るのは $4$ です。

このとき、$f(x) = \frac{4}{2} x = 2x$ となります。したがって、3に入るのは $2$ です。

最後に、条件 (A) $\int_0^x f(t) dt = \frac{x^2}{4} \int_0^a f(t) dt$ に $f(x) = 2x$ と $A=4$ を代入して $a$ の値を求めます。

$\int_0^x 2t dt = \frac{x^2}{4} \int_0^a 2t dt$

$\left[ t^2 \right]_0^x = \frac{x^2}{4} \left[ t^2 \right]_0^a$

$x^2 = \frac{x^2}{4} a^2$

$1 = \frac{a^2}{4}$

$a^2 = 4$

$a = \pm 2$

$a$ が正であることから、$a=2$ 。したがって、4に入るのは $2$ です。

3. 最終的な答え

1: 2

2: 4

3: 2

4: 2