与えられた絶対値記号を含む方程式および不等式を解く。問題は全部で9問あり、それぞれの方程式または不等式を満たす $x$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた絶対値記号を含む方程式および不等式を解く。問題は全部で9問あり、それぞれの方程式または不等式を満たす $x$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $|x-1|=3$

絶対値の定義より、$x-1=3$ または $x-1=-3$となる。

$x-1=3$ のとき、$x=4$

$x-1=-3$ のとき、$x=-2$

(2) $|x+1|=4$

絶対値の定義より、$x+1=4$ または $x+1=-4$となる。

$x+1=4$ のとき、$x=3$

$x+1=-4$ のとき、$x=-5$

(3) $|x-2|<4$

絶対値の定義より、$-4 < x-2 < 4$となる。

各辺に2を足して、$-4+2 < x < 4+2$

$-2 < x < 6$

(4) $|x+6|\le 1$

絶対値の定義より、$-1 \le x+6 \le 1$となる。

各辺から6を引いて、$-1-6 \le x \le 1-6$

$-7 \le x \le -5$

(5) $|x-3|>2$

絶対値の定義より、$x-3>2$ または $x-3<-2$となる。

$x-3>2$ のとき、$x>5$

$x-3<-2$ のとき、$x<1$

したがって、$x<1$ または $x>5$

(6) $|7x-2|=1$

絶対値の定義より、$7x-2=1$ または $7x-2=-1$となる。

$7x-2=1$ のとき、$7x=3$ より $x=\frac{3}{7}$

$7x-2=-1$ のとき、$7x=1$ より $x=\frac{1}{7}$

(7) $|3x-1|\ge 1$

絶対値の定義より、$3x-1\ge 1$ または $3x-1\le -1$となる。

$3x-1\ge 1$ のとき、$3x\ge 2$ より $x\ge \frac{2}{3}$

$3x-1\le -1$ のとき、$3x\le 0$ より $x\le 0$

したがって、$x\le 0$ または $x\ge \frac{2}{3}$

(8) $|2x+3|<5$

絶対値の定義より、$-5 < 2x+3 < 5$となる。

各辺から3を引いて、$-5-3 < 2x < 5-3$

$-8 < 2x < 2$

各辺を2で割って、$-4 < x < 1$

(9) $|6-x|>4$

絶対値の定義より、$6-x>4$ または $6-x<-4$となる。

$6-x>4$ のとき、$-x>-2$ より $x<2$

$6-x<-4$ のとき、$-x<-10$ より $x>10$

したがって、$x<2$ または $x>10$

3. 最終的な答え

(1) $x=-2, 4$

(2) $x=-5, 3$

(3) $-2<x<6$

(4) $-7\le x \le -5$

(5) $x<1$ または $x>5$

(6) $x=\frac{1}{7}, \frac{3}{7}$

(7) $x\le 0$ または $x\ge \frac{2}{3}$

(8) $-4<x<1$

(9) $x<2$ または $x>10$