2次関数 $f(x) = x^2 - 8x + 9$ の $0 \le x \le 7$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 8x + 9$ の $0 \le x \le 7$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、平方完成を行い、頂点の座標を求める。

$f(x) = x^2 - 8x + 9 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 9 = (x-4)^2 - 7$

よって、頂点の座標は $(4, -7)$ である。

定義域 $0 \le x \le 7$ におけるグラフを考えると、

軸 $x = 4$ は定義域に含まれている。

頂点で最小値を取ることが予想される。

$x = 4$ のとき、 $f(4) = (4-4)^2 - 7 = -7$

次に、定義域の端の値を調べる。

$x = 0$ のとき、 $f(0) = 0^2 - 8(0) + 9 = 9$

$x = 7$ のとき、 $f(7) = 7^2 - 8(7) + 9 = 49 - 56 + 9 = 2$

したがって、最大値は $x = 0$ のときの $f(0) = 9$ であり、

最小値は $x = 4$ のときの $f(4) = -7$ である。

3. 最終的な答え

最大値：$9$

最小値：$-7$