領域 $D$ 上で $xy$ を積分する問題です。領域 $D$ は $x^2 + y^2 \leq x$ かつ $y \geq 0$ で定義されます。つまり、円 $x^2+y^2=x$ の内側で $y \geq 0$ の部分です。

1. 問題の内容

領域 $D$ 上で $xy$ を積分する問題です。領域 $D$ は $x^2 + y^2 \leq x$ かつ $y \geq 0$ で定義されます。つまり、円 $x^2+y^2=x$ の内側で $y \geq 0$ の部分です。

2. 解き方の手順

まず、領域 $D$ を極座標で表します。

$x^2+y^2 \leq x$ は $r^2 \leq r\cos\theta$ となります。

$r>0$ なので $r \leq \cos\theta$ となります。

また、$y \geq 0$ なので $0 \leq \theta \leq \pi$ となります。

しかし、$r \leq \cos\theta$ という条件から、$\cos\theta$ が正である必要があります。したがって、$0 \leq \theta \leq \pi/2$ となります。

したがって、領域 $D$ は極座標で $0 \leq \theta \leq \pi/2$ かつ $0 \leq r \leq \cos\theta$ と表されます。

次に、$xy$ を極座標で表します。

$x = r\cos\theta$ 、$y = r\sin\theta$ なので、$xy = r^2\cos\theta\sin\theta$ となります。

また、面積要素は $dxdy = rdrd\theta$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\iint_D xy \, dxdy = \int_0^{\pi/2} \int_0^{\cos\theta} r^2\cos\theta\sin\theta \cdot r \, dr d\theta$

$=\int_0^{\pi/2} \int_0^{\cos\theta} r^3\cos\theta\sin\theta \, dr d\theta$

$=\int_0^{\pi/2} \left[ \frac{1}{4}r^4 \right]_0^{\cos\theta} \cos\theta\sin\theta \, d\theta$

$=\int_0^{\pi/2} \frac{1}{4} \cos^4\theta \cos\theta\sin\theta \, d\theta$

$=\frac{1}{4} \int_0^{\pi/2} \cos^5\theta\sin\theta \, d\theta$

$u = \cos\theta$ と置換すると、$du = -\sin\theta d\theta$ となります。

$\theta = 0$ のとき $u = 1$、$\theta = \pi/2$ のとき $u = 0$ となります。

$=\frac{1}{4} \int_1^0 u^5 (-du)$

$=\frac{1}{4} \int_0^1 u^5 \, du$

$=\frac{1}{4} \left[ \frac{1}{6}u^6 \right]_0^1$

$=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{24}$