与えられた関数について、$n$次導関数を求める問題です。対象となる関数は以下の3つです。 (i) $e^x$ (ii) $\sin x$ (iii) $\log(1+x)$

1. 問題の内容

与えられた関数について、$n$次導関数を求める問題です。対象となる関数は以下の3つです。

(i) $e^x$

(ii) $\sin x$

(iii) $\log(1+x)$

2. 解き方の手順

(i) $f(x) = e^x$ の場合

$e^x$ は何回微分しても $e^x$ になるため、$n$次導関数も $e^x$ となります。

(ii) $f(x) = \sin x$ の場合

$\sin x$ を微分すると、

$f'(x) = \cos x$

$f''(x) = -\sin x$

$f'''(x) = -\cos x$

$f''''(x) = \sin x$

となり、4回ごとに同じ関数に戻ります。

一般に、

$\sin(x + \frac{n\pi}{2})$

と表すことができます。三角関数の加法定理より、

$\sin(x + \frac{n\pi}{2}) = \sin x \cos(\frac{n\pi}{2}) + \cos x \sin(\frac{n\pi}{2})$

と表すことができます。

(iii) $f(x) = \log(1+x)$ の場合

まず1階微分を計算します。

$f'(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

次に2階微分を計算します。

$f''(x) = -1 (1+x)^{-2}$

3階微分は、

$f'''(x) = (-1)(-2)(1+x)^{-3} = 2 (1+x)^{-3}$

4階微分は、

$f''''(x) = 2(-3)(1+x)^{-4} = -6 (1+x)^{-4}$

一般化すると、

$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} (n-1)! (1+x)^{-n}$

となります。

3. 最終的な答え

(i) $e^x$ の$n$次導関数: $e^x$

(ii) $\sin x$ の$n$次導関数: $\sin(x + \frac{n\pi}{2})$

(iii) $\log(1+x)$ の$n$次導関数: $(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1+x)^n}$