以下の4つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} (1+ax)^{\frac{1}{x}}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x^2+x}$ (4) $\lim_{x \to \infty} \tanh x$

1. 問題の内容

以下の4つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} (1+ax)^{\frac{1}{x}}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x^2+x}$

(4) $\lim_{x \to \infty} \tanh x$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} (1+ax)^{\frac{1}{x}}$

$y = (1+ax)^{\frac{1}{x}}$とおきます。両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \frac{1}{x} \ln(1+ax)$

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax)}{x}$ となります。

ここでロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{1+ax}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{a}{1+ax} = a$

したがって、$\lim_{x \to 0} \ln y = a$より、$\lim_{x \to 0} y = e^a$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}$

分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})} = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}{(x+1) - x} = \sqrt{x+1} + \sqrt{x}$

よって、$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+1} + \sqrt{x}) = \infty$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x^2+x}$

$\frac{\tan x}{x^2+x} = \frac{\tan x}{x(x+1)} = \frac{\tan x}{x} \cdot \frac{1}{x+1}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$であり、$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1} = 1$なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x^2+x} = 1 \cdot 1 = 1$

(4) $\lim_{x \to \infty} \tanh x$

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^x(1 - e^{-2x})}{e^x(1 + e^{-2x})} = \frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}}$

$\lim_{x \to \infty} e^{-2x} = 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \tanh x = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $e^a$

(2) $\infty$

(3) $1$

(4) $1$