$x, y$ は実数とする。次の条件が、与えられた命題における必要条件、十分条件、必要十分条件、またはそれらのいずれでもないかを判断する問題です。 (1) $x^2 = 16$ は $x = 4$ であるための何か。 (2) $x, y$ がともに有理数であることは、$xy$ が有理数であるための何か。 (3) $\angle A < 90^\circ$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための何か。

1. 問題の内容

$x, y$ は実数とする。次の条件が、与えられた命題における必要条件、十分条件、必要十分条件、またはそれらのいずれでもないかを判断する問題です。

(1) $x^2 = 16$ は $x = 4$ であるための何か。

(2) $x, y$ がともに有理数であることは、$xy$ が有理数であるための何か。

(3) $\angle A < 90^\circ$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための何か。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 = 16 \implies x = 4$ または $x = -4$ です。したがって、$x^2 = 16$ ならば必ずしも $x = 4$ とは限りません。よって、$x = 4$ は $x^2 = 16$ であるための十分条件ではありません。

一方、$x = 4 \implies x^2 = 16$ は成り立ちます。したがって、$x = 4$ は $x^2 = 16$ であるための十分条件です。

しかし、$x^2 = 16$ は $x = 4$ であるための必要条件ではありますが、十分条件ではありません。したがって、アが適切です。

(2) $x, y$ がともに有理数ならば、$xy$ は有理数です。よって、$x, y$ がともに有理数であることは、$xy$ が有理数であるための十分条件です。

しかし、$xy$ が有理数でも、$x, y$ がともに有理数であるとは限りません。例えば、$x = \sqrt{2}, y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$xy = 1$ となり有理数ですが、$x, y$ はともに無理数です。よって、$x, y$ がともに有理数であることは、$xy$ が有理数であるための必要条件ではありません。

したがって、イが適切です。

(3) $\angle A < 90^\circ$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための必要条件ではありません。$\triangle ABC$ が鋭角三角形であるためには、全ての角が90°より小さい必要があります。$\angle A < 90^\circ$ だけでは、他の角が90°以上である可能性があり、鋭角三角形とは言えません。よって、必要条件ではありません。

また、$\angle A < 90^\circ$ だけでは、$\triangle ABC$ が鋭角三角形とは言えません。よって、十分条件でもありません。

したがって、エが適切です。

3. 最終的な答え

(1) ア

(2) イ

(3) エ