与えられた数列の和を、シグマ記号（$\Sigma$）を使わずに、各項を書き並べて表現する問題です。具体的には、以下の3つの数列の和を求めます。 (1) $\sum_{k=1}^{4} 3^k$ (2) $\sum_{l=1}^{n} (4-3l)$ (3) $\sum_{k=3}^{10} (k^2-1)$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を、シグマ記号（$\Sigma$）を使わずに、各項を書き並べて表現する問題です。具体的には、以下の3つの数列の和を求めます。

(1) $\sum_{k=1}^{4} 3^k$

(2) $\sum_{l=1}^{n} (4-3l)$

(3) $\sum_{k=3}^{10} (k^2-1)$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{4} 3^k$ の場合：

$k$ に1から4までの整数を代入し、各項を足し合わせます。

$3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4$

(2) $\sum_{l=1}^{n} (4-3l)$ の場合：

$l$ に1から $n$ までの整数を代入し、各項を足し合わせます。

$(4-3(1)) + (4-3(2)) + (4-3(3)) + \dots + (4-3(n))$

これは、

$(4-3) + (4-6) + (4-9) + \dots + (4-3n)$

整理して、

$1 + (-2) + (-5) + \dots + (4-3n)$

(3) $\sum_{k=3}^{10} (k^2-1)$ の場合：

$k$ に3から10までの整数を代入し、各項を足し合わせます。

$(3^2-1) + (4^2-1) + (5^2-1) + (6^2-1) + (7^2-1) + (8^2-1) + (9^2-1) + (10^2-1)$

計算して、

$(9-1) + (16-1) + (25-1) + (36-1) + (49-1) + (64-1) + (81-1) + (100-1)$

整理して、

$8 + 15 + 24 + 35 + 48 + 63 + 80 + 99$

3. 最終的な答え

(1) $3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4$

(2) $1 + (-2) + (-5) + \dots + (4-3n)$

(3) $8 + 15 + 24 + 35 + 48 + 63 + 80 + 99$