定義域 $0 \le x \le 3$ における2つの関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ と $g(x) = -(x-1)^2 + a^2 + 2a + 3$ (aは定数) について、以下の問いに答える。 (1) 関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求める。 (2) 定義域内のすべての実数 $x_1, x_2$ に対して、$f(x_1) < g(x_2)$ が成り立つときの $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

定義域 $0 \le x \le 3$ における2つの関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ と $g(x) = -(x-1)^2 + a^2 + 2a + 3$ (aは定数) について、以下の問いに答える。

(1) 関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

(2) 定義域内のすべての実数 $x_1, x_2$ に対して、$f(x_1) < g(x_2)$ が成り立つときの $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 4x + 7 = (x-2)^2 - 4 + 7 = (x-2)^2 + 3$

軸は $x=2$ で、これは定義域内にある。

$x=2$ のとき、最小値 $f(2) = 3$

定義域の端点について調べる。

$f(0) = 0^2 - 4(0) + 7 = 7$

$f(3) = 3^2 - 4(3) + 7 = 9 - 12 + 7 = 4$

よって、最大値は $f(0) = 7$ である。

(2) 定義域内のすべての実数 $x_1, x_2$ に対して、$f(x_1) < g(x_2)$ が成り立つときの $a$ の範囲を求める。

$f(x_1)$ の最大値は7であるから、$f(x_1) < 7$ が成り立つ。

$g(x_2)$ の最小値を求める。

$g(x) = -(x-1)^2 + a^2 + 2a + 3$

軸は $x=1$ で、これは定義域内にある。

$x=1$ のとき、最大値 $g(1) = a^2 + 2a + 3$

定義域の端点について調べる。

$g(0) = -(0-1)^2 + a^2 + 2a + 3 = -1 + a^2 + 2a + 3 = a^2 + 2a + 2$

$g(3) = -(3-1)^2 + a^2 + 2a + 3 = -4 + a^2 + 2a + 3 = a^2 + 2a - 1$

$g(x)$ は上に凸の放物線なので、$g(1) = a^2+2a+3$ が最大値となる。よって最小値は端点にあり、$g(0)$と$g(3)$を比較する。

$g(0) - g(3) = (a^2 + 2a + 2) - (a^2 + 2a - 1) = 3 > 0$ なので、$g(3) < g(0)$。

したがって、最小値は $g(3) = a^2 + 2a - 1$ である。

$f(x_1) < g(x_2)$ が成り立つためには、$f(x)$ の最大値が $g(x)$ の最小値よりも小さければよい。

つまり、$7 < a^2 + 2a - 1$ である。

$a^2 + 2a - 8 > 0$

$(a+4)(a-2) > 0$

したがって、$a < -4$ または $2 < a$

3. 最終的な答え

(1) f(x)の最大値は7、最小値は3

(2) a < -4, 2 < a