実数 $t$ がすべての実数を動くとき、直線 $y = 2tx - t^2$ が通過する領域を図示せよ。また、$0 \le t \le 2$ のときの通過する領域も図示せよ。

1. 問題の内容

実数 $t$ がすべての実数を動くとき、直線 $y = 2tx - t^2$ が通過する領域を図示せよ。また、$0 \le t \le 2$ のときの通過する領域も図示せよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2tx - t^2$ を $t$ についての2次方程式とみなす。

$t^2 - 2xt + y = 0$

(2) $t$ が実数である条件を考える。判別式を $D$ とすると、$D \ge 0$ であればよい。

$D/4 = x^2 - y \ge 0$

よって、$y \le x^2$

これは、放物線 $y = x^2$ の下側の領域を表す。

(3) 次に、$0 \le t \le 2$ の場合を考える。

$t^2 - 2xt + y = 0$ より、$t = x \pm \sqrt{x^2 - y}$

$0 \le x + \sqrt{x^2 - y} \le 2$ かつ $0 \le x - \sqrt{x^2 - y} \le 2$ を満たす $(x, y)$ の範囲を求める。

まず、$0 \le x - \sqrt{x^2 - y}$ より、$\sqrt{x^2 - y} \le x$

$x \ge 0$ かつ $x^2 - y \le x^2$ より、$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$

また、$x - \sqrt{x^2 - y} \le 2$ より、$x - 2 \le \sqrt{x^2 - y}$

$x - 2 \ge 0$ のとき、$(x-2)^2 \le x^2 - y$ より、$x^2 - 4x + 4 \le x^2 - y$

$y \le 4x - 4$

$x - 2 < 0$ のとき、$x < 2$ なので、常に $x-2 \le \sqrt{x^2-y}$ を満たす。したがって$0 \le x <2$ かつ $y \ge 0$ が条件となる。

次に、$0 \le x + \sqrt{x^2 - y} \le 2$ より、$-x \le \sqrt{x^2 - y}$

常に成り立つ。

また、$x + \sqrt{x^2 - y} \le 2$ より、$\sqrt{x^2 - y} \le 2 - x$

$2 - x \ge 0$ かつ $x^2 - y \le (2 - x)^2$ より、$x \le 2$ かつ $x^2 - y \le 4 - 4x + x^2$

$x \le 2$ かつ $y \ge 4x - 4$

したがって、$x \le 2$ かつ $y \ge 4x - 4$ を得る。

以上より、$0 \le x \le 2$ かつ $4x - 4 \le y \le x^2$ かつ $y\ge0$

3. 最終的な答え

(1) $t$ がすべての実数を動くとき、通過する領域は $y \le x^2$

(2) $0 \le t \le 2$ のとき、通過する領域は $0 \le x \le 2$ かつ $max(0, 4x - 4) \le y \le x^2$