与えられた連分数式を簡略化します。連分数式は以下の通りです。 $\frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \frac{1}{(a+4)(a+6)}$

1. 問題の内容

与えられた連分数式を簡略化します。連分数式は以下の通りです。

$\frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \frac{1}{(a+4)(a+6)}$

2. 解き方の手順

まず、各項を部分分数分解します。

$\frac{1}{a(a+2)} = \frac{A}{a} + \frac{B}{a+2}$

$1 = A(a+2) + Ba$

$a=0$ のとき $1 = 2A$ なので $A = \frac{1}{2}$

$a=-2$ のとき $1 = -2B$ なので $B = -\frac{1}{2}$

よって、$\frac{1}{a(a+2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2})$

同様に、

$\frac{1}{(a+2)(a+4)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4})$

$\frac{1}{(a+4)(a+6)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{a+4} - \frac{1}{a+6})$

これらを元の式に代入すると、

$\frac{1}{2}(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{a+4} - \frac{1}{a+6})$

$\frac{1}{2}$ でくくると、

$\frac{1}{2} (\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2} + \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4} + \frac{1}{a+4} - \frac{1}{a+6})$

$\frac{1}{2} (\frac{1}{a} - \frac{1}{a+6})$

$\frac{1}{2} (\frac{a+6-a}{a(a+6)})$

$\frac{1}{2} (\frac{6}{a(a+6)})$

$\frac{3}{a(a+6)}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{a(a+6)}$