次の計算をしなさい。 (1) $2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{6}} \times 2^{\frac{1}{2}}$ (2) $\{5^{\frac{9}{2}}\}^{\frac{2}{3}}$ (3) $(x^3y)^3 \div x^2y \div (xy)^2$ (4) $(2^3)^{-\frac{2}{3}}$

1. 問題の内容

次の計算をしなさい。

(1) $2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{6}} \times 2^{\frac{1}{2}}$

(2) $\{5^{\frac{9}{2}}\}^{\frac{2}{3}}$

(3) $(x^3y)^3 \div x^2y \div (xy)^2$

(4) $(2^3)^{-\frac{2}{3}}$

2. 解き方の手順

(1) 指数法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を用いて計算します。

$2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{6}} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}}$

指数の部分を計算します。

$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2} = \frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{3}{6} = \frac{6}{6} = 1$

したがって、

$2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{6}} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^1 = 2$

(2) 指数法則 $(a^m)^n = a^{m \times n}$ を用いて計算します。

$\{5^{\frac{9}{2}}\}^{\frac{2}{3}} = 5^{\frac{9}{2} \times \frac{2}{3}}$

指数の部分を計算します。

$\frac{9}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{18}{6} = 3$

したがって、

$\{5^{\frac{9}{2}}\}^{\frac{2}{3}} = 5^3 = 125$

(3) 指数法則 $(a^m)^n = a^{m \times n}$ および $a^m \div a^n = a^{m-n}$ を用いて計算します。

$(x^3y)^3 \div x^2y \div (xy)^2 = x^9y^3 \div x^2y \div x^2y^2 = \frac{x^9y^3}{x^2y \cdot x^2y^2} = \frac{x^9y^3}{x^4y^3} = x^{9-4}y^{3-3} = x^5y^0 = x^5$

(4) 指数法則 $(a^m)^n = a^{m \times n}$ を用いて計算します。

$(2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{3 \times (-\frac{2}{3})} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 125

(3) $x^5$

(4) $\frac{1}{4}$