与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$ とベクトル $b = \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix}$ に対して、連立一次方程式 $Ax = b$ を考える。 (1) 解が存在するための $p, q$ の条件を求める。 (2) (1)の条件を満たす $p, q$ に対して、解 $x$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$ とベクトル $b = \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix}$ に対して、連立一次方程式 $Ax = b$ を考える。

(1) 解が存在するための $p, q$ の条件を求める。

(2) (1)の条件を満たす $p, q$ に対して、解 $x$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

連立一次方程式は

$x_1 + 2x_2 = p$ ... (1)

$3x_1 + 6x_2 = q$ ... (2)

と表される。(2)式は(1)式の3倍であるから、$3(x_1 + 2x_2) = 3x_1 + 6x_2$

解が存在するためには、$3p = q$ が成り立つ必要がある。

(2)

$q = 3p$ であるとき、連立方程式は

$x_1 + 2x_2 = p$

$3x_1 + 6x_2 = 3p$

となり、実質的には $x_1 + 2x_2 = p$ のみとなる。

$x_1 = p - 2x_2$

$x_2 = t$ (任意の実数)とおくと、$x_1 = p - 2t$ となる。

よって、解は $x = \begin{bmatrix} p-2t \\ t \end{bmatrix}$ (tは任意の実数)

3. 最終的な答え

(1) 解が存在するための条件： $3p = q$

(2) 解： $x = \begin{bmatrix} p-2t \\ t \end{bmatrix}$ (tは任意の実数)