平行四辺形ABCDにおいて、AE=EB, BF:FC=1:2, CG:GD=3:2である。線分ECとFGの交点をHとするとき、EH:HCを最も簡単な整数の比で表す。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、AE=EB, BF:FC=1:2, CG:GD=3:2である。線分ECとFGの交点をHとするとき、EH:HCを最も簡単な整数の比で表す。

2. 解き方の手順

まず、点EからDCに平行な直線を引く。この直線とFGとの交点をIとする。

すると、$\triangle EBF \sim \triangle ICF$ となる。

$BF:FC = 1:2$ より、$EB:IC = 1:2$

$AE=EB$ であるので、$AB=2EB$

平行四辺形の性質より、$CD=AB$ であり、$CD=2EB$

また、$CG:GD=3:2$ なので、$CD = CG + GD = 3+2 = 5$。したがって、$CG = \frac{3}{5} CD = \frac{3}{5} \cdot 2EB = \frac{6}{5} EB$。

よって、$IC = CD - ID = \frac{1}{2} EB$。

次に、$\triangle EHI \sim \triangle CHG$ が成り立つ。

したがって、$EH:HC = EI:CG$

$EI = EC - IC = \frac{9}{10} EB$ と書ける。

$EH:HC = EI:CG = (\frac{4}{5}EB):(\frac{6}{5}EB) = \frac{4}{5}:\frac{6}{5} = 4:6 = 2:3$

したがって、$EH:HC = 4:6 = 2:3$

別解

メネラウスの定理を用いる。

$\triangle FBC$と直線$EH$について、

$\frac{BE}{EF} \cdot \frac{FH}{HC} \cdot \frac{CA}{AB} = 1$

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} : \frac{2}{3} = 1$.

3. 最終的な答え

EH:HC = 4:9