$ \sqrt{2} $が無理数であることを利用して、$a$、$b$が有理数のとき、$a + b\sqrt{2} = 0$ ならば $a = b = 0$ であることを証明する問題です。証明の途中の空欄を埋めます。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$が無理数であることを利用して、$a$、$b$が有理数のとき、$a + b\sqrt{2} = 0$ ならば $a = b = 0$ であることを証明する問題です。証明の途中の空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

まず、$a + b\sqrt{2} = 0$ で、$b \neq 0$ であると仮定します。

$a + b\sqrt{2} = 0$ より、$\sqrt{2}$ について解きます。

$b\sqrt{2} = -a$

$\sqrt{2} = -\frac{a}{b}$

ここで、$a$と$b$は有理数なので、$-\frac{a}{b}$ は有理数です。

すると、$\sqrt{2}$ が有理数となり、$\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾します。

したがって、$b = 0$ でなければなりません。

$b = 0$ のとき、$a + b\sqrt{2} = 0$ に代入すると、

$a + 0 \cdot \sqrt{2} = 0$

$a + 0 = 0$

$a = 0$

したがって、$a = 0$ です。

3. 最終的な答え

ア：$\neq$

イ：$-\frac{a}{b}$

ウ：$0$

ウ：$0$