与えられた4つの極限を求める問題です。ここで、$[x]$ はガウス記号を表し、$x$を超えない最大の整数を意味します。 (1) $\lim_{x \to 3+0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$ (2) $\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$ (3) $\lim_{x \to 2+0} [x]$ (4) $\lim_{x \to 2-0} [x]$

1. 問題の内容

与えられた4つの極限を求める問題です。ここで、$[x]$ はガウス記号を表し、$x$を超えない最大の整数を意味します。

(1) $\lim_{x \to 3+0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$

(2) $\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$

(3) $\lim_{x \to 2+0} [x]$

(4) $\lim_{x \to 2-0} [x]$

2. 解き方の手順

(1) $x \to 3+0$ より $x > 3$ なので、$x - 3 > 0$ となり $|x - 3| = x - 3$ となります。

$\lim_{x \to 3+0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|} = \lim_{x \to 3+0} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3+0} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3+0} (x + 3) = 3 + 3 = 6$

(2) $x \to 3-0$ より $x < 3$ なので、$x - 3 < 0$ となり $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$ となります。

$\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|} = \lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{3 - x} = \lim_{x \to 3-0} \frac{(x - 3)(x + 3)}{-(x - 3)} = \lim_{x \to 3-0} -(x + 3) = -(3 + 3) = -6$

(3) $x \to 2+0$ より、$x$ は2より少し大きい値を取ります。例えば、$x = 2.1$ のような値です。

このとき、$[x] = [2.1] = 2$ となります。

したがって、$\lim_{x \to 2+0} [x] = 2$

(4) $x \to 2-0$ より、$x$ は2より少し小さい値を取ります。例えば、$x = 1.9$ のような値です。

このとき、$[x] = [1.9] = 1$ となります。

したがって、$\lim_{x \to 2-0} [x] = 1$

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) -6

(3) 2

(4) 1