与えられた7つの式を因数分解します。 (1) $x^3 - 27$ (2) $x^3y^3 + z^3$ (3) $(x+y)^2 + x + y - 6$ (4) $x^4 - 1$ (5) $ab + bc - cd - da$ (6) $x^4 + 4$ (7) $x^4 - 11x^2 + 1$

はい、承知いたしました。それでは、与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた7つの式を因数分解します。

(1) $x^3 - 27$

(2) $x^3y^3 + z^3$

(3) $(x+y)^2 + x + y - 6$

(4) $x^4 - 1$

(5) $ab + bc - cd - da$

(6) $x^4 + 4$

(7) $x^4 - 11x^2 + 1$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 27$ は、差の立方公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用します。ここで、$a = x$、$b = 3$ です。

したがって、$x^3 - 27 = (x-3)(x^2 + 3x + 9)$ となります。

(2) $x^3y^3 + z^3$ は、和の立方公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用します。ここで、$a = xy$、$b = z$ です。

したがって、$x^3y^3 + z^3 = (xy+z)(x^2y^2 - xyz + z^2)$ となります。

(3) $(x+y)^2 + x + y - 6$ は、$A = x+y$ と置くと、$A^2 + A - 6$ となります。これを因数分解すると、$(A+3)(A-2)$ です。

したがって、$(x+y)^2 + x + y - 6 = (x+y+3)(x+y-2)$ となります。

(4) $x^4 - 1$ は、平方の差 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を2回利用します。

まず、$x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1)$。

次に、$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$。

したがって、$x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x+1)(x-1)$ となります。

(5) $ab + bc - cd - da$ は、共通因数でくくります。

$ab + bc - cd - da = b(a+c) - d(c+a) = (a+c)(b-d)$ となります。

(6) $x^4 + 4$ は、$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2+2)^2 - (2x)^2 = (x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$ となります。

(7) $x^4 - 11x^2 + 1$ は、$x^4 - 11x^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 - 9x^2 = (x^2 - 1)^2 - (3x)^2 = (x^2 - 3x - 1)(x^2 + 3x - 1)$となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x-3)(x^2 + 3x + 9)$

(2) $(xy+z)(x^2y^2 - xyz + z^2)$

(3) $(x+y+3)(x+y-2)$

(4) $(x^2 + 1)(x+1)(x-1)$

(5) $(a+c)(b-d)$

(6) $(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$

(7) $(x^2 - 3x - 1)(x^2 + 3x - 1)$