与えられた行列の逆行列を求め、指定された場所に結果を入力する問題です。問題は以下の行列の逆行列を計算し、枠に値を入力することです。 $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

## 問題 6.4 の解答

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を求め、指定された場所に結果を入力する問題です。問題は以下の行列の逆行列を計算し、枠に値を入力することです。

$A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

逆行列を求めるには、拡大行列を作り、行基本変形を使って左側の行列を単位行列に変形します。右側に現れる行列が逆行列です。

拡大行列は以下の通りです。

$\begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 2 & | & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目を-1倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 0 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 2 & | & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます。（$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$）

3行目から1行目の3倍を引きます。（$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$）

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 5 & | & 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

3行目から2行目の3倍を引きます。（$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$）

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & | & 1 & -3 & -3 \end{bmatrix}$

3行目を-1倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

2行目から3行目の2倍を引きます。（$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_3$）

1行目に3行目を足します。（$R_1 \rightarrow R_1 + R_3$）

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & | & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 & -5 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

1行目に2行目を足します。（$R_1 \rightarrow R_1 + R_2$）

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 & -5 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

したがって、逆行列は次のようになります。

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 2 & -5 & -4 \\ -1 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: -2

ウ: 2

エ: -1

解答：

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 2 & -5 & -4 \\ -1 & 3 & 3 \end{bmatrix}$