2次関数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ (ただし、$a \neq 0$) が、3点 $(-1, 11)$, $(0, 1)$, $(1, -5)$ を通るとき、以下の問いに答えます。 (1) $a, b, c$ の値を求めます。 (2) $f(x)$ の最小値を求めます。 (3) $t \neq 1$ かつ $f(t) = f(1)$ を満たす $t$ の値を求めます。 (4) $k > 1$ を満たす実数 $k$ に対して、$1 \leq x \leq k$ における $f(x)$ の最大値を $M$ とするとき、 (i) $M$ を $k$ の値で場合分けして求めます。 (ii) $M < 0$ となるような $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ (ただし、$a \neq 0$) が、3点 $(-1, 11)$, $(0, 1)$, $(1, -5)$ を通るとき、以下の問いに答えます。

(1) $a, b, c$ の値を求めます。

(2) $f(x)$ の最小値を求めます。

(3) $t \neq 1$ かつ $f(t) = f(1)$ を満たす $t$ の値を求めます。

(4) $k > 1$ を満たす実数 $k$ に対して、$1 \leq x \leq k$ における $f(x)$ の最大値を $M$ とするとき、

(i) $M$ を $k$ の値で場合分けして求めます。

(ii) $M < 0$ となるような $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が $(-1, 11)$, $(0, 1)$, $(1, -5)$ を通るので、以下の3つの式が成り立ちます。

$f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c = 11$

$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c = 1$

$f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = -5$

$c = 1$ を上記の式に代入すると、

$a - b + 1 = 11 \Rightarrow a - b = 10$

$a + b + 1 = -5 \Rightarrow a + b = -6$

2つの式を足すと、$2a = 4 \Rightarrow a = 2$

$a = 2$ を $a + b = -6$ に代入すると、$2 + b = -6 \Rightarrow b = -8$

したがって、$a = 2, b = -8, c = 1$

(2) $f(x) = 2x^2 - 8x + 1 = 2(x^2 - 4x) + 1 = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = 2(x - 2)^2 - 8 + 1 = 2(x - 2)^2 - 7$

よって、最小値は $x = 2$ のとき $-7$

(3) $f(1) = -5$ であり、$f(t) = 2t^2 - 8t + 1 = -5$ を満たす $t$ を求めます。

$2t^2 - 8t + 6 = 0$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

$(t - 1)(t - 3) = 0$

$t = 1, 3$

$t \neq 1$ より、$t = 3$

(4)

(i) $f(x) = 2(x - 2)^2 - 7$

軸は $x = 2$ なので、

$1 \le x \le k$ における最大値 $M$ を求めます。

(a) $1 < k < 2$ のとき、$x = 1$ で最大値をとるので、$M = f(1) = -5$

(b) $k = 2$ のとき、$x = 1$ で最大値をとるので、$M = f(1) = -5$

(c) $2 < k \le 4$ のとき、$x = k$ で最大値をとるので、$M = f(k) = 2(k - 2)^2 - 7$

(d) $k > 4$ のとき、$x = k$ で最大値をとるので、$M = f(k) = 2(k - 2)^2 - 7$

まとめると、

$1 < k \leq 2$ のとき、$M = -5$

$k > 2$ のとき、$M = 2(k - 2)^2 - 7$

(ii) $M < 0$ となる $k$ の範囲を求めます。

(a) $1 < k \le 2$ のとき、$M = -5 < 0$ なので、常に成り立ちます。

(b) $k > 2$ のとき、$2(k - 2)^2 - 7 < 0$

$(k - 2)^2 < \frac{7}{2} = 3.5$

$-\sqrt{3.5} < k - 2 < \sqrt{3.5}$

$2 - \sqrt{3.5} < k < 2 + \sqrt{3.5}$

$k > 2$ より、$2 < k < 2 + \sqrt{3.5}$

$\sqrt{3.5} \approx 1.87$ なので、$2 < k < 3.87$

したがって、$1 < k < 2 + \sqrt{3.5}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2, b = -8, c = 1$

(2) $-7$

(3) $t = 3$

(4) (i) $1 < k \leq 2$ のとき、$M = -5$

$k > 2$ のとき、$M = 2(k - 2)^2 - 7$

(ii) $1 < k < 2 + \sqrt{3.5}$