問題10：整式 $x^3 - 2x + 3$ を整式 $x - 2$ で割ったときの余りを求めよ。 問題11：整式 $P(x)$ を $x - 1$ で割ると割り切れ、$x + 3$ で割ると $-4$ 余る。$P(x)$ を $(x - 1)(x + 3)$ で割ったときの余りを求めよ。 問題12：$x^3 + ax^2 - 3ax + 16$ が $x - 2$ で割り切れるように、定数 $a$ を定めよ。 問題14：$x = 1 - 2i$ が方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 5 = 0$ の解であるとき、実数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

問題10：整式 $x^3 - 2x + 3$ を整式 $x - 2$ で割ったときの余りを求めよ。

問題11：整式 $P(x)$ を $x - 1$ で割ると割り切れ、$x + 3$ で割ると $-4$ 余る。$P(x)$ を $(x - 1)(x + 3)$ で割ったときの余りを求めよ。

問題12：$x^3 + ax^2 - 3ax + 16$ が $x - 2$ で割り切れるように、定数 $a$ を定めよ。

問題14：$x = 1 - 2i$ が方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 5 = 0$ の解であるとき、実数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

問題10：

$x - 2 = 0$ より $x = 2$ を $x^3 - 2x + 3$ に代入する。

余りは $2^3 - 2(2) + 3 = 8 - 4 + 3 = 7$

問題11：

余りを $ax + b$ とおく。

$P(x) = (x - 1)(x + 3)Q(x) + ax + b$ と表せる。

$P(1) = a + b = 0$

$P(-3) = -3a + b = -4$

この連立方程式を解く。

$a + b = 0$ より $b = -a$

$-3a - a = -4$

$-4a = -4$

$a = 1$

$b = -1$

よって、余りは $x - 1$

問題12：

$P(x) = x^3 + ax^2 - 3ax + 16$ とおく。

$P(2) = 0$ となるような $a$ を求める。

$P(2) = 2^3 + a(2^2) - 3a(2) + 16 = 8 + 4a - 6a + 16 = 24 - 2a = 0$

$2a = 24$

$a = 12$

問題14：

$x = 1 - 2i$ が解ならば、共役複素数 $x = 1 + 2i$ も解である。

$(x - (1 - 2i))(x - (1 + 2i)) = (x - 1 + 2i)(x - 1 - 2i) = (x - 1)^2 - (2i)^2 = x^2 - 2x + 1 - (-4) = x^2 - 2x + 5$

$x^3 + ax^2 + bx - 5 = (x^2 - 2x + 5)(x + c)$ とおくと

定数項を比較して $5c = -5$ より $c = -1$

$x^3 + ax^2 + bx - 5 = (x^2 - 2x + 5)(x - 1) = x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x + 5x - 5 = x^3 - 3x^2 + 7x - 5$

$a = -3$

$b = 7$

他の解は $x = 1$

3. 最終的な答え

問題10：7

問題11：$x - 1$

問題12：$a = 12$

問題14：$a = -3$, $b = 7$, 他の解は $x = 1, 1+2i$