問題7：和が2, 積が6となる2つの数 $\alpha$, $\beta$ がある。この $\alpha$, $\beta$ を解とする2次方程式を1つ作ると、$x^2 - セx + ソ = 0$ であり、$\alpha$, $\beta$ を求めると $タ \pm \sqrt{チ} i$ となる。 問題8：2次式 $2x^2 - x + 3$ を複素数の範囲で因数分解せよ。 問題9：2次方程式 $3x^2 - mx + 1 = 0$ の2つの解のうち1つの解が他の解の3倍であるとき、定数 $m$ の値は？

1. 問題の内容

問題7：和が2, 積が6となる2つの数 $\alpha$, $\beta$ がある。この $\alpha$, $\beta$ を解とする2次方程式を1つ作ると、$x^2 - セx + ソ = 0$ であり、$\alpha$, $\beta$ を求めると $タ \pm \sqrt{チ} i$ となる。

問題8：2次式 $2x^2 - x + 3$ を複素数の範囲で因数分解せよ。

問題9：2次方程式 $3x^2 - mx + 1 = 0$ の2つの解のうち1つの解が他の解の3倍であるとき、定数 $m$ の値は？

2. 解き方の手順

問題7：

* 和が2, 積が6となる2数 $\alpha$, $\beta$ を解とする二次方程式は、$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ である。$\alpha + \beta = 2$、$\alpha\beta = 6$ より、$x^2 - 2x + 6 = 0$ となる。よって、$セ = 2$, $ソ = 6$。

* 解の公式より、$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}i}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}i}{2} = 1 \pm \sqrt{5}i$。よって、$タ = 1$, $チ = 5$。

問題8：

* $2x^2 - x + 3 = 0$ の解を求める。解の公式より、$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(3)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 24}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{-23}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{23}i}{4}$。

* $2x^2 - x + 3 = 2(x - \frac{1 + \sqrt{23}i}{4})(x - \frac{1 - \sqrt{23}i}{4}) = 2(x - (\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{23}}{4}i))(x - (\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{23}}{4}i))$。よって、$ツ = 2$, $テ = 1$, $トナ = 23$, $ニ = 4$。

問題9：

* 2つの解を $\alpha$, $3\alpha$ とすると、解と係数の関係より、$\alpha + 3\alpha = \frac{m}{3}$ かつ $\alpha(3\alpha) = \frac{1}{3}$。

* $4\alpha = \frac{m}{3}$ より、$\alpha = \frac{m}{12}$。

* $3\alpha^2 = \frac{1}{3}$ より、$\alpha^2 = \frac{1}{9}$。よって、$\alpha = \pm \frac{1}{3}$。

* $\alpha = \frac{1}{3}$ のとき、$\frac{1}{3} = \frac{m}{12}$。よって、$m = 4$。

* $\alpha = -\frac{1}{3}$ のとき、$-\frac{1}{3} = \frac{m}{12}$。よって、$m = -4$。

3. 最終的な答え

問題7：セ = 2, ソ = 6, タ = 1, チ = 5

問題8：ツ = 2, テ = 1, トナ = 23, ニ = 4

問題9：ヌネ = 4, ノ = -4