数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = a_1 + \cdots + a_n$ が与えられたときに、数列 $\{a_n\}$ が等比数列であることを示し、その初項、公比、および一般項を求める問題です。具体的には、以下の4つの場合に解く必要があります。 (1) $S_n = 1 - \frac{1}{3^n}$ (2) $S_n = \frac{3^n - 2^n}{3^n}$ (3) $S_n = \underbrace{0.77\cdots7}_{7 が n 個}$ (4) $S_n = \underbrace{0.1212\cdots12}_{12 が n 個}$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = a_1 + \cdots + a_n$ が与えられたときに、数列 $\{a_n\}$ が等比数列であることを示し、その初項、公比、および一般項を求める問題です。具体的には、以下の4つの場合に解く必要があります。

(1) $S_n = 1 - \frac{1}{3^n}$

(2) $S_n = \frac{3^n - 2^n}{3^n}$

(3) $S_n = \underbrace{0.77\cdots7}_{7 が n 個}$

(4) $S_n = \underbrace{0.1212\cdots12}_{12 が n 個}$

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ が等比数列であるためには、隣り合う項の比が一定であることが必要です。つまり、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ が $n$ に依存しない定数となることを示せばよいです。

まず、$a_n = S_n - S_{n-1}$ を用いて $a_n$ を求めます。ただし、$n=1$ のときは $a_1 = S_1$ となります。求めた $a_n$ について、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ が定数となることを確認すれば、数列 $\{a_n\}$ が等比数列であることが示せます。

また、求めた $a_1$ が初項、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ が公比となります。最後に、$a_n = a_1 r^{n-1}$ (ただし $r$ は公比) を用いて一般項を求めます。

(1) $S_n = 1 - \frac{1}{3^n}$ の場合

$a_1 = S_1 = 1 - \frac{1}{3^1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (1 - \frac{1}{3^n}) - (1 - \frac{1}{3^{n-1}}) = \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{1}{3^n} = \frac{3}{3^n} - \frac{1}{3^n} = \frac{2}{3^n}$

$a_1 = \frac{2}{3}$ なので、これは $n=1$ でも成り立ちます。したがって、$a_n = \frac{2}{3^n}$

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2/3^{n+1}}{2/3^n} = \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}$

したがって、初項は $\frac{2}{3}$、公比は $\frac{1}{3}$ の等比数列です。

一般項は $a_n = \frac{2}{3} (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{2}{3^n}$

(2) $S_n = \frac{3^n - 2^n}{3^n}$ の場合

$a_1 = S_1 = \frac{3^1 - 2^1}{3^1} = \frac{3-2}{3} = \frac{1}{3}$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{3^n - 2^n}{3^n} - \frac{3^{n-1} - 2^{n-1}}{3^{n-1}} = \frac{3^n - 2^n}{3^n} - \frac{3(3^{n-1} - 2^{n-1})}{3^n} = \frac{3^n - 2^n - 3^n + 3 \cdot 2^{n-1}}{3^n} = \frac{-2^n + \frac{3}{2} 2^n}{3^n} = \frac{-\frac{2}{2} 2^n + \frac{3}{2} 2^n}{3^n} = \frac{\frac{1}{2} 2^n}{3^n} = \frac{2^{n-1}}{3^n}$

$a_1 = \frac{1}{3}$ なので、これは $n=1$ でも成り立ちます。したがって、$a_n = \frac{2^{n-1}}{3^n}$

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^n/3^{n+1}}{2^{n-1}/3^n} = \frac{2^n 3^n}{2^{n-1} 3^{n+1}} = \frac{2}{3}$

したがって、初項は $\frac{1}{3}$、公比は $\frac{2}{3}$ の等比数列です。

一般項は $a_n = \frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{n-1} = \frac{2^{n-1}}{3^n}$

(3) $S_n = 0.77\cdots7$ ($7$ が $n$ 個) の場合

$S_n = \frac{7}{10} + \frac{7}{10^2} + \cdots + \frac{7}{10^n} = 7 (\frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \cdots + \frac{1}{10^n}) = 7 \frac{\frac{1}{10}(1 - (\frac{1}{10})^n)}{1 - \frac{1}{10}} = 7 \frac{\frac{1}{10} (1 - \frac{1}{10^n})}{\frac{9}{10}} = \frac{7}{9} (1 - \frac{1}{10^n})$

$a_1 = S_1 = \frac{7}{9} (1 - \frac{1}{10}) = \frac{7}{9} \frac{9}{10} = \frac{7}{10}$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{7}{9} (1 - \frac{1}{10^n}) - \frac{7}{9} (1 - \frac{1}{10^{n-1}}) = \frac{7}{9} (\frac{1}{10^{n-1}} - \frac{1}{10^n}) = \frac{7}{9} (\frac{10}{10^n} - \frac{1}{10^n}) = \frac{7}{9} \frac{9}{10^n} = \frac{7}{10^n}$

$a_1 = \frac{7}{10}$ なので、これは $n=1$ でも成り立ちます。したがって、$a_n = \frac{7}{10^n}$

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{7/10^{n+1}}{7/10^n} = \frac{10^n}{10^{n+1}} = \frac{1}{10}$

したがって、初項は $\frac{7}{10}$、公比は $\frac{1}{10}$ の等比数列です。

一般項は $a_n = \frac{7}{10} (\frac{1}{10})^{n-1} = \frac{7}{10^n}$

(4) $S_n = \underbrace{0.1212\cdots12}_{12 が n 個}$ の場合

$S_n = \frac{12}{100} + \frac{12}{100^2} + \cdots + \frac{12}{100^n} = 12 (\frac{1}{100} + \frac{1}{100^2} + \cdots + \frac{1}{100^n}) = 12 \frac{\frac{1}{100} (1 - (\frac{1}{100})^n)}{1 - \frac{1}{100}} = 12 \frac{\frac{1}{100} (1 - \frac{1}{100^n})}{\frac{99}{100}} = \frac{12}{99} (1 - \frac{1}{100^n}) = \frac{4}{33} (1 - \frac{1}{100^n})$

$a_1 = S_1 = \frac{4}{33} (1 - \frac{1}{100}) = \frac{4}{33} \frac{99}{100} = \frac{4}{1} \frac{3}{100} = \frac{12}{100} = 0.12$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{4}{33} (1 - \frac{1}{100^n}) - \frac{4}{33} (1 - \frac{1}{100^{n-1}}) = \frac{4}{33} (\frac{1}{100^{n-1}} - \frac{1}{100^n}) = \frac{4}{33} (\frac{100}{100^n} - \frac{1}{100^n}) = \frac{4}{33} \frac{99}{100^n} = \frac{4 \times 3}{100^n} = \frac{12}{100^n}$

$a_1 = \frac{12}{100}$ なので、これは $n=1$ でも成り立ちます。したがって、$a_n = \frac{12}{100^n}$

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{12/100^{n+1}}{12/100^n} = \frac{100^n}{100^{n+1}} = \frac{1}{100}$

したがって、初項は $\frac{12}{100}$、公比は $\frac{1}{100}$ の等比数列です。

一般項は $a_n = \frac{12}{100} (\frac{1}{100})^{n-1} = \frac{12}{100^n}$

3. 最終的な答え

(1) 初項: $\frac{2}{3}$, 公比: $\frac{1}{3}$, 一般項: $a_n = \frac{2}{3^n}$

(2) 初項: $\frac{1}{3}$, 公比: $\frac{2}{3}$, 一般項: $a_n = \frac{2^{n-1}}{3^n}$

(3) 初項: $\frac{7}{10}$, 公比: $\frac{1}{10}$, 一般項: $a_n = \frac{7}{10^n}$

(4) 初項: $\frac{12}{100}$, 公比: $\frac{1}{100}$, 一般項: $a_n = \frac{12}{100^n}$