直角を挟む2辺の長さの和が18 cmである直角三角形について、面積の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

直角を挟む2辺の長さの和が18 cmである直角三角形について、面積の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

直角を挟む2辺の長さをそれぞれ $x$ cm、$y$ cmとする。

問題文より、$x + y = 18$ が成り立つ。

直角三角形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}xy$ で表される。

$y = 18 - x$ を面積の式に代入すると、

$S = \frac{1}{2}x(18 - x) = \frac{1}{2}(18x - x^2) = -\frac{1}{2}x^2 + 9x$

これは、$x$ に関する二次関数である。

面積 $S$ が最大になる $x$ の値を求めるために、平方完成を行う。

$S = -\frac{1}{2}(x^2 - 18x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 18x + 81 - 81) = -\frac{1}{2}((x - 9)^2 - 81) = -\frac{1}{2}(x - 9)^2 + \frac{81}{2}$

$S$ は $x = 9$ のとき最大値 $\frac{81}{2}$ をとる。

$x = 9$ のとき、$y = 18 - x = 18 - 9 = 9$ である。

3. 最終的な答え

面積の最大値は $\frac{81}{2} \text{ cm}^2$ である。