定数 $a$ に対して、関数 $y = -x^2 - ax + a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最大値を $M$ とするとき、以下の問いに答えます。 (1) $M$ を $a$ で表してください。 (2) $M=5$ のとき、$a$ の値を求めてください。

1. 問題の内容

定数 $a$ に対して、関数 $y = -x^2 - ax + a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最大値を $M$ とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $M$ を $a$ で表してください。

(2) $M=5$ のとき、$a$ の値を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = -x^2 - ax + a^2$ を平方完成します。

$y = -(x^2 + ax) + a^2 = -(x + \frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 + a^2 = -(x + \frac{a}{2})^2 + \frac{a^2}{4} + a^2 = -(x + \frac{a}{2})^2 + \frac{5a^2}{4}$

軸は $x = -\frac{a}{2}$ となります。定義域は $0 \le x \le 1$ です。

(i) $-\frac{a}{2} < 0$、つまり $a > 0$ のとき

$x=0$ で最大値をとります。$M = y(0) = -0^2 - a\cdot 0 + a^2 = a^2$

(ii) $0 \le -\frac{a}{2} \le 1$、つまり $-2 \le a \le 0$ のとき

$x = -\frac{a}{2}$ で最大値をとります。$M = \frac{5a^2}{4}$

(iii) $-\frac{a}{2} > 1$、つまり $a < -2$ のとき

$x=1$ で最大値をとります。$M = y(1) = -1^2 - a\cdot 1 + a^2 = a^2 - a - 1$

以上をまとめると、

$a < -2$ のとき、$M = a^2 - a - 1$

$-2 \le a \le 0$ のとき、$M = \frac{5a^2}{4}$

$a > 0$ のとき、$M = a^2$

(2) $M = 5$ のとき、$a$ の値を求めます。

(i) $a < -2$ のとき、$a^2 - a - 1 = 5$ を解きます。

$a^2 - a - 6 = 0$

$(a-3)(a+2) = 0$

$a = 3, -2$

$a < -2$ なので、解なし。

(ii) $-2 \le a \le 0$ のとき、$\frac{5a^2}{4} = 5$ を解きます。

$5a^2 = 20$

$a^2 = 4$

$a = \pm 2$

$-2 \le a \le 0$ なので、$a = -2$

(iii) $a > 0$ のとき、$a^2 = 5$ を解きます。

$a = \pm \sqrt{5}$

$a > 0$ なので、$a = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1)

$M = \begin{cases}

a^2 - a - 1 & (a < -2) \\

\frac{5a^2}{4} & (-2 \le a \le 0) \\

a^2 & (a > 0)

\end{cases}$

(2)

$a = -2, \sqrt{5}$