$a$ は定数とする。関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ ($0 \le x \le 2$) について、次の問いに答えよ。 (1) 最小値を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は定数とする。関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ ($0 \le x \le 2$) について、次の問いに答えよ。

(1) 最小値を求めよ。

(2) 最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 3x^2 - 6ax + 2 = 3(x^2 - 2ax) + 2 = 3(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2 = 3(x-a)^2 - 3a^2 + 2$

したがって、軸は $x = a$ です。定義域は $0 \le x \le 2$ です。

(1) 最小値を求める。

場合分けをして考えます。

(i) $a < 0$ のとき、$x = 0$ で最小値をとる。

$y = 3(0)^2 - 6a(0) + 2 = 2$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、$x = a$ で最小値をとる。

$y = 3(a)^2 - 6a(a) + 2 = -3a^2 + 2$

(iii) $a > 2$ のとき、$x = 2$ で最小値をとる。

$y = 3(2)^2 - 6a(2) + 2 = 12 - 12a + 2 = 14 - 12a$

まとめると、

$a < 0$ のとき、最小値は 2

$0 \le a \le 2$ のとき、最小値は $-3a^2 + 2$

$a > 2$ のとき、最小値は $14 - 12a$

(2) 最大値を求める。

軸 $x=a$ と定義域の中央の値 $x=1$ の位置関係で場合分けします。

(i) $a \le 1$ のとき、$x = 2$ で最大値をとる。

$y = 3(2)^2 - 6a(2) + 2 = 12 - 12a + 2 = 14 - 12a$

(ii) $a > 1$ のとき、$x = 0$ で最大値をとる。

$y = 3(0)^2 - 6a(0) + 2 = 2$

まとめると、

$a \le 1$ のとき、最大値は $14 - 12a$

$a > 1$ のとき、最大値は 2

3. 最終的な答え

(1)

$a < 0$ のとき、最小値は 2

$0 \le a \le 2$ のとき、最小値は $-3a^2 + 2$

$a > 2$ のとき、最小値は $14 - 12a$

(2)

$a \le 1$ のとき、最大値は $14 - 12a$

$a > 1$ のとき、最大値は 2