3次方程式 $x^3 + 2x^2 - 8x - 21 = 0$ を複素数の範囲で解きます。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 2x^2 - 8x - 21 = 0$ を複素数の範囲で解きます。

2. 解き方の手順

まずは、方程式の整数解を探します。

$x = 3$ を代入すると、

$3^3 + 2(3^2) - 8(3) - 21 = 27 + 18 - 24 - 21 = 0$ となり、$x = 3$ は解の一つです。

したがって、$x^3 + 2x^2 - 8x - 21$ は $(x - 3)$ で割り切れます。実際に割り算を行うと、

$x^3 + 2x^2 - 8x - 21 = (x - 3)(x^2 + 5x + 7)$

となります。

次に、$x^2 + 5x + 7 = 0$ を解きます。解の公式より、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(7)}}{2(1)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 28}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-5 \pm i\sqrt{3}}{2}$

したがって、3次方程式の解は $x = 3$, $x = \frac{-5 + i\sqrt{3}}{2}$, $x = \frac{-5 - i\sqrt{3}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$x = 3, \frac{-5 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-5 - i\sqrt{3}}{2}$