確率変数$X$の確率密度関数$f(x)$が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x & (0 \le x \le 2) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases}$ (a) 期待値$E(X)$を求めます。 (b) 分散$V(X)$を求めます。

1. 問題の内容

確率変数$X$の確率密度関数$f(x)$が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x & (0 \le x \le 2) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases}$

(a) 期待値$E(X)$を求めます。

(b) 分散$V(X)$を求めます。

2. 解き方の手順

(a) 期待値$E(X)$の計算

期待値は、$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$で計算できます。

この問題の場合、$0 \le x \le 2$ の範囲での積分を考えれば良いので、

$E(X) = \int_{0}^{2} x (-\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x) \, dx$

$= \int_{0}^{2} (-\frac{3}{4}x^3 + \frac{3}{2}x^2) \, dx$

$= [-\frac{3}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^3]_{0}^{2}$

$= -\frac{3}{16}(2^4) + \frac{1}{2}(2^3)$

$= -\frac{3}{16}(16) + \frac{1}{2}(8)$

$= -3 + 4 = 1$

よって、期待値$E(X)$は1です。

(b) 分散$V(X)$の計算

分散は、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$で計算できます。

$E(X)$は(a)で計算したので、$E(X)=1$です。

次に、$E(X^2)$を計算します。

$E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx$

$= \int_{0}^{2} x^2 (-\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x) \, dx$

$= \int_{0}^{2} (-\frac{3}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^3) \, dx$

$= [-\frac{3}{20}x^5 + \frac{3}{8}x^4]_{0}^{2}$

$= -\frac{3}{20}(2^5) + \frac{3}{8}(2^4)$

$= -\frac{3}{20}(32) + \frac{3}{8}(16)$

$= -\frac{96}{20} + \frac{48}{8}$

$= -\frac{24}{5} + 6 = \frac{-24 + 30}{5} = \frac{6}{5}$

よって、$E(X^2) = \frac{6}{5}$です。

したがって、分散$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{6}{5} - (1)^2 = \frac{6}{5} - 1 = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

(a) 期待値$E(X)$: 3

(b) 分散$V(X)$: 1