1から6までの目がそれぞれ1/6の確率で出るサイコロを60回投げたとき、奇数の目が出る回数をXとする。 (a) 期待値 $E(X)$ を求めよ。 (b) 分散 $V(X)$ を求めよ。

1. 問題の内容

1から6までの目がそれぞれ1/6の確率で出るサイコロを60回投げたとき、奇数の目が出る回数をXとする。

(a) 期待値 $E(X)$ を求めよ。

(b) 分散 $V(X)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(a) 期待値 $E(X)$ を求める。

1回の試行で奇数の目が出る確率は、1, 3, 5の3つの目なので、$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$である。

60回の試行なので、期待値は試行回数に確率をかけることで求められる。

$E(X) = 60 \times \frac{1}{2} = 30$

したがって、期待値 $E(X)$ は30である。

(b) 分散 $V(X)$ を求める。

確率変数Xは二項分布に従う。

二項分布において、分散は $V(X) = np(1-p)$ で求められる。

ここで、$n$は試行回数、$p$は成功確率である。

今回の問題では、$n = 60$、$p = \frac{1}{2}$なので、

$V(X) = 60 \times \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{2}) = 60 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 60 \times \frac{1}{4} = 15$

したがって、分散 $V(X)$ は15である。

3. 最終的な答え

(a) 期待値 $E(X)$: 30

(b) 分散 $V(X)$: 15