折り紙を生徒に配る問題です。 (1) 生徒の人数を $x$ 人として方程式を作り、生徒の人数を求めます。 (2) 折り紙の枚数を $x$ 枚としてよしゆきさんが作った方程式 $\frac{x-40}{20} = \frac{x+20}{25}$ において、$\frac{x-40}{20}$ がどのような数量を表しているか答えます。

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6. 折り紙の問題

1. **問題の内容**

折り紙を生徒に配る問題です。

(1) 生徒の人数を $x$ 人として方程式を作り、生徒の人数を求めます。

(2) 折り紙の枚数を $x$ 枚としてよしゆきさんが作った方程式 $\frac{x-40}{20} = \frac{x+20}{25}$ において、$\frac{x-40}{20}$ がどのような数量を表しているか答えます。

2. **解き方の手順**

(1) 生徒の人数を $x$ 人とすると、折り紙の枚数は、20枚ずつ配ると40枚余ることから $20x + 40$ 枚と表せます。また、25枚ずつ配ると20枚足りないことから、$25x - 20$ 枚とも表せます。これらは同じ折り紙の枚数を表しているので、以下の方程式が成り立ちます。

$$20x + 40 = 25x - 20$$

この方程式を解きます。

$$25x - 20x = 40 + 20$$

$$5x = 60$$

$$x = 12$$

したがって、生徒の人数は12人です。

(2) $\frac{x-40}{20}$ は、折り紙の枚数 $x$ から余った枚数40を引いたものを、20で割っています。これは、20枚ずつ配ったときの生徒の人数を表しています。なぜなら、$(x-40)$ は配った折り紙の総数なので、それを20で割れば配られた人数（＝生徒の人数）になるからです。

3. **最終的な答え**

(1) 生徒の人数を $x$ 人とした方程式： $20x + 40 = 25x - 20$

生徒の人数： 12 人

(2) $\frac{x-40}{20}$ が表す数量： 20枚ずつ配ったときの生徒の人数

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7. 弟と兄の問題

1. **問題の内容**

弟が駅に向かって歩き、その15分後に兄が自転車で追いかける問題です。

(1) 兄が家を出てから何分後に弟に追いつくかを求めます。

(2) 家から駅までの道のりが1600mであった場合、(1)で求めた答えをそのまま答えとしてよいかどうか、理由とともに答えます。

2. **解き方の手順**

(1) 兄が家を出てから $t$ 分後に弟に追いつくとします。弟は兄が出発する15分前から歩いているので、$t + 15$ 分歩いています。弟の歩く速さは毎分80m、兄の自転車の速さは毎分200mなので、兄が $t$ 分で進む距離は $200t$ m、弟が $t+15$ 分で進む距離は $80(t+15)$ mです。兄が弟に追いつくとき、二人の進んだ距離は等しいので、以下の方程式が成り立ちます。

$$200t = 80(t + 15)$$

この方程式を解きます。

$$200t = 80t + 1200$$

$$120t = 1200$$

$$t = 10$$

したがって、兄が家を出てから10分後に弟に追いつきます。

(2) 兄が10分で進む距離は $200 \times 10 = 2000$ mです。これは家から駅までの距離1600mよりも大きいので、駅に着く前に追いつくことになります。

兄が家を出てから弟に追いつくまでの距離は2000mであり、これは1600mより大きいため、駅に着く前に追いつきます。したがって、(1)で求めた答えをそのまま答えることはできません。

兄が10分で2000m進む一方、駅から家までは1600mしかないので、途中で追いつくことになります。

追いつくまでの時間を正確に求めるには、まず弟が駅まであとどれくらいの距離を残しているかを計算します。弟は15+t分間歩いており、道のり全体が1600mであるため、

$80(t+15) = 1600$

$80t + 1200 = 1600$

$80t = 400$

$t = 5$

兄が家を出てから5分後に駅に着きます。

3. **最終的な答え**

(1) 10 分後

(2) いえ、そのまま答えとしてはいけません。なぜなら、兄が弟に追いつく前に駅に着いてしまうからです。