数列 $a_n$ が $a_n = n^3 - 7n + 9$ で定義されているとき、以下の問いに答える。 (1) $a_1$ を求めよ。 (2) $a_2$ を求めよ。 (3) $a_3$ を求めよ。 (4) $a_n$ がある整数の倍数になることを推測し、その整数を求め、$a_n$ がその整数の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明せよ。 (5) $a_n$ が素数となるような整数 $n$ を全て求めよ。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が $a_n = n^3 - 7n + 9$ で定義されているとき、以下の問いに答える。

(1) $a_1$ を求めよ。

(2) $a_2$ を求めよ。

(3) $a_3$ を求めよ。

(4) $a_n$ がある整数の倍数になることを推測し、その整数を求め、$a_n$ がその整数の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明せよ。

(5) $a_n$ が素数となるような整数 $n$ を全て求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_1$ を求める。

$a_1 = 1^3 - 7(1) + 9 = 1 - 7 + 9 = 3$

(2) $a_2$ を求める。

$a_2 = 2^3 - 7(2) + 9 = 8 - 14 + 9 = 3$

(3) $a_3$ を求める。

$a_3 = 3^3 - 7(3) + 9 = 27 - 21 + 9 = 15 = 3 \times 5$

$a_1 = 3, a_2 = 3, a_3 = 15$ より、$a_n$ は $3$ の倍数であることが推測される。

(4) $a_n$ が $3$ の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明する。

(i) $n = 1$ のとき、$a_1 = 3$ であり、$3$ の倍数であるから成り立つ。

(ii) $n = k$ のとき、$a_k = k^3 - 7k + 9$ が $3$ の倍数であると仮定する。すなわち、$a_k = 3m$ (m は整数) と表せる。

$n = k + 1$ のとき、$a_{k+1} = (k+1)^3 - 7(k+1) + 9 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - 7k - 7 + 9 = (k^3 - 7k + 9) + (3k^2 + 3k - 6) = a_k + 3(k^2 + k - 2)$

仮定より、$a_k$ は $3$ の倍数であり、$3(k^2 + k - 2)$ も $3$ の倍数であるから、$a_{k+1}$ は $3$ の倍数である。

したがって、数学的帰納法により、$a_n$ は常に $3$ の倍数である。

(5) $a_n = n^3 - 7n + 9$ が素数となるような整数 $n$ を求める。$a_n$ は $3$ の倍数であるから、素数になるためには $a_n = 3$ でなければならない。

$n^3 - 7n + 9 = 3$

$n^3 - 7n + 6 = 0$

$(n - 1)(n^2 + n - 6) = 0$

$(n - 1)(n - 2)(n + 3) = 0$

$n = 1, 2, -3$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 3$

$n = 2$ のとき、$a_2 = 3$

$n = -3$ のとき、$a_{-3} = (-3)^3 - 7(-3) + 9 = -27 + 21 + 9 = 3$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 3$

(2) $a_2 = 3$

(3) $a_3 = 15$

(4) 3

(5) $n = 1, 2, -3$